Dané sú body $A=[-2; 3; 5]$, $B=[-1; 4; 4]$, $D=[-3; 5; 2]$, a $E=[2; 2; 3]$. Vypočítajte objem 3-bokého ihlana $ABDE$ v rovnobežnostene $ABCDEFGH$ (šikmom hranole s rovnobežníkovou podstavou).
Mária vyriešila túto úlohu v nasledujúcich krokoch
(1) Zapísala vzorec na výpočet objemu ihlana pomocou zmiešaného súčinu vektorov: $$V = \frac13\cdot\left|\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\, \right)\cdot\overrightarrow{c}\ \right|,$$ kde $\ \overrightarrow{a}$, $\ \overrightarrow{b}$, $\ \overrightarrow{c}\ $ sú vektory určené hranami 3-bokého ihlana.
(2) Nakreslila si rovnobežnosten $ABCDEFGH$, umiestnila na jeho hrany vektory: $\ \overrightarrow{a}$, $\ \overrightarrow{b} $, $\ \overrightarrow{c}\ $
a vypočítala ich súradnice:
$$\begin{alignat}{4}
\overrightarrow{a} &=\overrightarrow{AB} &&= B – A &&&= &&&&(1\ ;1\ ;-1)\cr
\overrightarrow{b} &=\overrightarrow{AD} &&= D – A &&&= &&&&(-1; 2; -3)\cr
\overrightarrow{c} &=\overrightarrow{AE} &&= E – A &&&= &&&&(4; -1; -2)
\end{alignat}$$
(3) Vypočítala $\ \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\ $: $$ \begin{array}{cccc} 1&-1&1&1\cr 2&-3&-1&2\cr \hline \end{array} $$
$$\begin{aligned}
\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}&=(1\cdot(-3)-2\cdot(-1); -1\cdot(-1)-(-3)\cdot1; 1\cdot2-(-1)\cdot1)\cr
\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}&=(-3 + 2; 1 + 3; 2 + 1)\cr
\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}&=(-1; 4; 3)
\end{aligned}$$
(4) Vypočítala:
$\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\,\right)\cdot\overrightarrow{c}$ :
$\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\,\right)\cdot\overrightarrow{c} =(-1; 4; 3)\cdot(4; -1; -2) = -1 \cdot4 + 4 \cdot (-1) + 3 \cdot (-2) = -4 -4 -6 = -14$
(5) Nakoniec vypočítala objem 3-bokého ihlana: $$V = \frac13\cdot|-14|=\frac13\cdot14 = \frac{14}{3}$$
Mária dospela k záveru, že objem 3-bokého ihlana je $\frac{14}{3}$ jednotiek kubických.
V Máriinom riešení je chyba. Kde Mária urobila vo svojom postupe chybu?
Chyba je v kroku (1). Mária použila nesprávny vzorec na výpočet objemu ihlana.
Chyba je v kroku (2). Mária nesprávne vypočítala súradnice niektorého z vektorov $\ \overrightarrow{a}$, $\ \overrightarrow{b}$, $\ \overrightarrow{c}$.
Chyba je v kroku (3). Mária nesprávne vypočítala vektorový súčin $\ \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$.
Chyba je v kroku (4). Mária nesprávne vypočítala hodnotu zmiešaného súčinu $\left(\,\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\,\right)\cdot \overrightarrow{c}$.
Použitý vzťah by bol správny na výpočet objemu 4-bokého ihlana s rovnobežníkovou podstavou (napr. $ABCDE$). Objem ihlana s trojuholníkovou podstavou (napr. $ABDE$) je len polovica vypočítaného objemu ihlana $ABCDE$ (obsah podstavy ihlana s trojuholníkovou podstavou $ABD$ je polovica obsahu podstavy ihlana s rovnobežníkovou podstavou $ABCD$). Preto správny vzorec je : $$V = \frac16\cdot\left|\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\,\right)\cdot \overrightarrow{c}\ \right|$$ Objem daného ihlana je $\frac73$ jednotiek kubických: $$V = \frac16\cdot|-14|=\frac16\cdot14 = \frac73$$
