Dados los puntos $A=[-2; 3; 5]$, $B=[-1; 4; 4]$, $D=[-3; 5; 2]$ y $E=[2; 2; 3]$, determina el volumen de la pirámide triangular $ABDE$ en el paralelepípedo $ABCDEFGH$ (un prisma oblicuo con un paralelogramo de base).
Mary resolvió este problema mediante los siguientes pasos:
(1) Primero escribió la fórmula del volumen de una pirámide triangular usando el producto mixto de vectores: $$V = \frac13\cdot\left|\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\, \right)\cdot\overrightarrow{c}\ \right|,$$ donde $\ \overrightarrow{a}$, $\ \overrightarrow{b}$, $\ \overrightarrow{c}\ $ son vectores determinados por las aristas de la pirámide.
(2) Después, dibujó el paralelepípedo $ABCDEFGH$, situó los vectores $\ \overrightarrow{a}$, $\ \overrightarrow{b}$, y $\ \overrightarrow{c}\ $ en las aristas correspondientes,
y calculó sus coordenadas:
$$\begin{alignat}{4}
\overrightarrow{a} &=\overrightarrow{AB} &&= B – A &&&= &&&&(1\ ;1\ ;-1)\cr
\overrightarrow{b} &=\overrightarrow{AD} &&= D – A &&&= &&&&(-1; 2; -3)\cr
\overrightarrow{c} &=\overrightarrow{AE} &&= E – A &&&= &&&&(4; -1; -2)
\end{alignat}$$
(3) Luego calculó $\ \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\ $ de la siguiente forma: $$ \begin{array}{cccc} 1&-1&1&1\cr 2&-3&-1&2\cr \hline \end{array} $$
$$\begin{aligned}
\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}&=(1\cdot(-3)-2\cdot(-1); -1\cdot(-1)-(-3)\cdot1; 1\cdot2-(-1)\cdot1)\cr
\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}&=(-3 + 2; 1 + 3; 2 + 1)\cr
\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}&=(-1; 4; 3)
\end{aligned}$$
(4) Procedió a hallar $\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\,\right)\cdot\overrightarrow{c}$ :
$\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\,\right)\cdot\overrightarrow{c} =(-1; 4; 3)\cdot(4; -1; -2) = -1 \cdot4 + 4 \cdot (-1) + 3 \cdot (-2) = -4 -4 -6 = -14$
(5) Finalmente, encontró el volumen de la pirámide triangular: $$V = \frac13\cdot|-14|=\frac13\cdot14 = \frac{14}{3}$$
Marry concluyó que el volumen de la pirámide dada es $\frac{14}{3}$ unidades cúbicas.
Hay un error en la resolución de Mary. ¿Dónde cometió el error?
El error está en el paso (1). Mary usó una fórmula errónea para el volumen de la pirámide dada.
El error está en el paso (2). Mary no calculó correctamente las coordenadas de uno de los vectores $\ \overrightarrow{a}$, $\ \overrightarrow{b}$, $\ \overrightarrow{c}$.
El error está en el paso (3). Mary no calculó correctamente el producto vectorial $\ \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$.
El error está en el paso (4). Mary no halló correctamente el producto mixto $\left(\,\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\,\right)\cdot \overrightarrow{c}$.
La fórmula usada da el volumen de una pirámide de cuatro lados con un paralelogramo de base (p.ej. $ABCDE$). El volumen de una pirámide triangular (p.ej. $ABDE$) es simplemente la mitad del volumen calculado de la pirámide $ABCDE$ (el área de la base de una pirámide de base triangular $ABD$ es la mitad del área de la base de una pirámide con un paralelogramo de base $ABCD$). Por tanto, la fórmula correcta es: $$V = \frac16\cdot\left|\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\,\right)\cdot \overrightarrow{c}\ \right|$$ El volumen de la pirámide dada es $\frac73$ unidades cúbicas: $$V = \frac16\cdot|-14|=\frac16\cdot14 = \frac73$$
