Bob mal za úlohu nájsť limitu funkcie $$ f(x) = \frac{\sqrt{\sin^2 x}}{x} $$ v bode $x=0$.
Najprv funkciu zjednodušil: $$ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sqrt{\sin^2 x}}{x} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} $$ Potom použil l'Hospitalovo pravidlo: $$ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\cos x}{1} = 1 $$ Vypočítal Bob limitu správne? Vysvetlite.
Nie. Pretože platí $\sqrt{\sin^2x }=|\sin x |$ a funkcia $\frac{|\sin x |}{x}$ nemá limitu v bode $x=0$.
Nie. Pre výpočet $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}$ nie je možné použiť l'Hospitalovo pravidlo.
Áno. Limita je vypočítaná správne.
Nie. Platí $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} =0$.
Funkcia $f(x) = \frac{\sqrt{\sin^2 x}}{x} =\frac{|\sinx |}{x}$ v bode $x=0$ nemá limitu, pretože limita zľava sa rovná $-1$, kým limita sprava sa rovná $+1$. Jednostranné limity funkcie $f$ možno jasne vidieť z jej grafu znázorneného na nasledujúcom obrázku.
