Bob měl za úkol vypočítat limitu funkce $$ f(x) = \frac{\sqrt{\sin^2 x}}{x} $$ v bodě $x=0$. Zvolil následující postup:
Nejprve funkci zjednodušil: $$ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sqrt{\sin^2 x}}{x} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} $$ Poté použil l’Hospitalovo pravidlo: $$ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\cos x}{1} = 1 $$ Vypočítal Bob limitu správně? Zdůvodněte.
Ne. Platí totiž $\sqrt{\sin^2x }=|\sin x |$, Funkce $\frac{|\sin x |}{x}$ v bodě $x=0$ limitu nemá.
Ne. Při výpočtu $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}$ není možné použít l’Hospitalovo pravidlo.
Ano. Limita je spočítána správně.
Ne. Platí totiž $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} =0$.
Funkce $f(x) = \frac{\sqrt{\sin^2 x}}{x} =\frac{|\sinx |}{x}$ v bodě $x=0$ limitu nemá, protože limita zleva je rovna $−1$, zatímco limita zprava je rovna $+1$. Jednostranné limity funkce $f$ jsou patrné z jejího grafu na obrázku.
