Peťo bol skúšaný pred tabuľou a dostal za úlohu vyriešiť logaritmickú rovnicu: $$ \log_2(x-2)+\log_2( x)=3 $$ Jeho spolužiaci mali potom posúdiť správnosť jeho postupu riešenia.
(1) Najprv Peťo určil definičné obory oboch logaritmov: $$ x-2>0 \land x>0 $$ Riešením týchto podmienok získal definičný obor danej rovnice: $$ (2,+\infty) $$
(2) Ľavú stranu rovnice upravil podľa viet o logaritmoch: $$ \begin{align} \log_2( x-2+x)&=3 \cr \log_2( 2x-2)&=3 \end{align} $$ (3) Potom použil pravidlo: $$ \log_ax=v \Leftrightarrow x=a^v $$ a získal: $$ 2x-2=2^3 $$ (4) Nakoniec vyriešil lineárnu rovnicu: $$ \begin{align} 2x-2&=2^3 \cr 2x-2&=8 \cr 2x&=10 \cr x&=5 \end{align} $$ Peter si všimol, že koreň $x=5$ patrí do definičného oboru rovnice.
(5) Avšak po vykonaní skúšky: $$ \begin{align} L(5)&=\log_2(5-2)+\log_2( 5)=\log_23+\log_25\approx 3{,}907 \cr P(5) & =3 \cr L(5) & \neq P(5) \end{align} $$ vyhlásil, že rovnica nemá riešenie. Urobil Peter chybu? Ak áno, uveďte kde.
Áno. Chyba je v kroku (2). Vo všeobecnosti neplatí rovnosť $$ \log_2 (x-2)+\log_2 x=\log_2 (2x-2) $$.
Áno. Chyba je v kroku (1). Podmienky danej rovnice by mali byť: $$ x-2 \geq 0 \land x\geq0 $$ Definičný obor rovnice je interval $\langle 2,+\infty)$. Všetky ďalšie Petrove kroky a výsledok sú už správne.
Áno. Chyba je v kroku (5). Skúška nie je správna. Mala by byť $$\log_23+\log_25=\log_28=3,$$ a preto $x=5$ je správne riešenie danej rovnice.
Nie. Všetky kroky sú správne.
Správne riešenie: $$\log_2(x-2)+\log_2( x)=3 $$ (1) Určíme podmienku oboch logaritmov: $$ x-2>0 \land x>0 $$ $$ x∈(2;\infty) $$ (2) Ľavú stranu rovnice upravíme podľa pravidla: $$ \log_a x+\log_a y=\log_a (xy) $$ a dostaneme: $$ \begin{align} \log_2[(x-2)\cdot x]=3 \cr \log_2( x^2-2x)=3 \end{align} $$ (3) Potom rovnicu zjednodušíme podľa pravidla: $$ \log_ax=v\Leftrightarrow x=a^v $$ a dostaneme: $$ x^2-2x=2^3 $$ (4) Následne riešime kvadratickú rovnicu: $$ \begin{align} x^2-2x-8&=0 \cr x_{1,2}&=\frac{2\pm \sqrt{36}}{2} \cr x_1&=4 \cr x_2&=-2 \end{align} $$ (5) Koreň $x=-2$ nepatrí do definičného oboru, takže rovnica má len jedno riešenie $x = 4$. Môžeme, ale nemusíme vykonať skúšku. $$ \begin{align} L(4)&=\log_2(4-2)+\log_2( 4)=\log_22+\log_24=3 \cr P(4)&=3 \cr L(4)&=P(4) \end{align} $$