Pedro fue examinado delante de sus compañeros y debía solucionar la siguiente ecuación logarítmica: $$ \log_2(x-2)+\log_2( x)=3 $$
A continuación, sus compañeros tenían que evaluar la corrección de su procedimiento de resolución.
(1) En primer lugar, Pedro determinó los dominios de definición de ambos logaritmos: $$ x-2>0 \land x>0 $$ Resolviendo estas condiciones, obtuvo el dominio de la ecuación dada: $$ (2,+\infty) $$
(2) Modificó el lado izquierdo de la ecuación según las propiedades de los logaritmos: $$ \begin{align} \log_2( x-2+x)&=3 \cr \log_2( 2x-2)&=3 \end{align} $$
(3) Luego, utilizó la definición del logaritmo: $$ \log_ax=v \Leftrightarrow x=a^v $$ y obtuvo: $$ 2x-2=2^3 $$
(4) Por último, resolvió la ecuación lineal: $$ \begin{align} 2x-2&=2^3 \cr 2x-2&=8 \cr 2x&=10 \cr x&=5 \end{align} $$
Pedro observó que la raíz $x=5$ pertenecía al dominio de la ecuación.
(5) Sin embargo, después de hacer la comprobación: $$ \begin{align} I(5)&=\log_2(5-2)+\log_2( 5)=\log_23+\log_25\approx 3.907 \cr D(5) & =3 \cr I(5) & \neq D(5) \end{align} $$ declaró que la ecuación no tenía solución.
¿Cometió Pedro algún error?
Sí. El error está en el paso (2). En general, la ecuación $$ \log_2 (x-2)+\log_2 x=\log_2 (2x-2) $$ no se cumple.
Sí. El error está en el paso (1). Las condiciones para el dominio de la ecuación dada deberían ser: $$ x-2 \geq 0 \land x\geq0 $$ Por lo tanto, el dominio de la ecuación es el intervalo $[ 2,+\infty)$. Todos los pasos posteriores de Pedro y el resultado ya son correctos.
Sí. El error está en el paso (5). La comprobación es incorrecta. Debería ser $$\log_23+\log_25=\log_28=3,$$ y por lo tanto $x=5$ es la solución correcta de la ecuación dada.
No. Todos los pasos son correctos.
Solución correcta: $$\log_2(x-2)+\log_2( x)=3 $$ (1) Determinamos los dominios de definición de ambos logaritmos: $$ x-2>0 \land x>0 $$ $$ x∈(2;\infty) $$
(2) Modificamos el lado izquierdo de la ecuación siguiendo las propiedades $$ \begin{align} \log_2[(x-2)\cdot x]=3 \cr \log_2( x^2-2x)=3 \end{align} $$
(3) A continuación, simplificamos la ecuación según la definición del logaritmo $$ \log_ax=v \Leftrightarrow x=a^v $$ y obtenemos: $$ x^2-2x=2^3 $$
(4) Y resolvemos la ecuación cuadrática: $$ \begin{align} x^2-2x-8&=0 \cr x_{1,2}&=\frac{2\pm \sqrt{36}}{2} \cr x_1&=4 \cr x_2&=-2 \end{align} $$
(5) La raíz $x=-2$ no pertenece al dominio, por lo que la ecuación sólo tiene una única solución $x = 4$. Podemos, aunque no es necesario, realizar una comprobación. $$ \begin{align} I(4)&=\log_2(4-2)+\log_2( 4)=\log_22+\log_24=3 \cr D(4)&=3 \cr I(4)&=D(4) \end{align} $$