Geometrická a aritmetická postupnosť II

Peter a Pavol mali vyriešiť nasledujúcu úlohu:

Postupnosť $(a_n )$ je definovaná rekurentne: $$ \begin{align} a_1&=2 \cr a_n&=3(n-1)-a_{n-1}+3,~n\geq 2 \end{align} $$

Nájdite celé čísla $x$, $y$ tak, že $a_7$, $a_2+x$, $a_4+2y$ sú tri po sebe nasledujúce členy aritmetickej postupnosti a $a_1$, $4x-a_2$, $3a_6-y$ sú tri po sebe nasledujúce členy geometrickej postupnosti.

Obaja vypočítali nasledujúcich šesť členov postupnosti: $$ \begin{align} a_2&=3-a_1+3=4 \cr a_3&=6-a_2+3=5\cr a_4&=9-a_3+3=7\cr a_5&=12-a_4+3=8\cr a_6&=15-a_5+3=10\cr a_7&=18-a_6+3=11 \end{align} $$

Peter pokračoval takto: Ak $a_7$, $a_2+x$, $a_4+2y$ sú tri po sebe nasledujúce členy aritmetickej postupnosti, potom rozdiel medzi akýmikoľvek dvomi po sebe nasledujúcimi členmi je vždy rovnaký. A ak $a_1$, $4x-a_2$, $3a_6-y$ sú tri po sebe nasledujúce členy geometrickej postupnosti, potom stredný člen možno vypočítať pomocou dvoch zvyšných členov: $$ \begin{align} (4+x)-11&=(7+2y)-(4+x)\cr (4x-4)^2&=2(30-y)
\end{align} $$ Vyjadril $x$ z prvej rovnice: $$ \begin{align} 2x&=10+2y \cr x&=5+y \end{align} $$ a dosadil ho do druhej rovnice: $$ \begin{align} (4y+16)^2&=60-2y \cr 16y^2+130y+196&=0 \cr 8y^2+65y+98&=0 \end{align} $$ Nakoniec vyriešil kvadratickú rovnicu, ktorú dostal: $$ \begin{align} y_{1,2}&=\frac{-65 \pm \sqrt{65^2-4 \cdot 8 \cdot 98}}{16} \cr y_{1,2}&=\frac{-65 \pm \sqrt{4225-3136}}{16}\cr y_{1,2}&=\frac{-65 \pm \sqrt{1089}}{16}\cr y_{1,2}&=\frac{-65 \pm 33}{16}\cr y_1&=-2,y_2=-\frac{49}{8} \end{align} $$ Teraz už zostávalo len vypočítať $x$: $$ x_1=3,~x_2=-\frac98 $$ Takto získal dve riešenia: $x_1=3$, $y_1=-2$ a $x_2=-\frac98$, $y_2=-\frac{49}{8}$.

Pavol uvažoval nasledovne: Ak $a_7$, $a_2+x$, $a_4+2y$ sú tri po sebe nasledujúce členy aritmetickej postupnosti, potom stredný člen je aritmetickým priemerom zvyšných dvoch členov, a ak $a_1$, $4x-a_2$, $3a_6-y$ sú tri po sebe nasledujúce členy geometrickej postupnosti, potom kvocient je rovnaký pre akékoľvek dva po sebe nasledujúce členy: $$ \begin{align} 4+x&=\frac12 (11+(7+2y)) \cr \frac{4x-4}2&=\frac{30-y}{4x-4} \end{align} $$

Vyjadril $y$ z druhej rovnice: $$ \begin{align} (4x-4)^2&=60-2y \cr 16x^2-32x+16&=60-2y \cr y&=-8x^2+16x+22 \end{align} $$ dosadil do prvej rovnice a dostal: $$ \begin{align} 8+2x&=11+7-16x^2+32x+44 \cr 16x^2-30x-54&=0 \cr 8x^2-15x-27&=0 \end{align} $$ Potom vyriešil vyššie uvedenú rovnicu: $$ \begin{align} x_{1,2}&=\frac{-15 \pm \sqrt{225-4 \cdot 8 \cdot (-27) }}{16} \cr x_{1,2}&=\frac{-15 \pm \sqrt{225+864}}{16}\cr x_{1,2}&=\frac{-15 \pm \sqrt{1089}}{16}\cr x_{1,2}&=\frac{-15 \pm 33}{16}\cr x_1&=-3,~x_2= \frac98 \end{align} $$

Nakoniec určil neznámu $y$: $$ \begin{align} y_1&=-8 \cdot 9-48+22=-98 \cr y_2&=-8 \cdot \frac{81}{64}+16 \cdot \frac{9}{8}+22=\frac{239}{8} \end{align} $$

Podľa neho má úloha jedno riešenie, a to $x=-3$ a $y=-98$.

Kto z nich postupoval pri riešení správne?