Veľkosť výšky na preponu

Eva, Alex a Anna riešili nasledujúcu úlohu: V pravouhlom trojuholníku $ABC$ sa veľkosť uhla $ABC$ rovná $30^{\circ}$. Obsah trojuholníka je $2\sqrt3$. Určte veľkosť výšky na preponu.

Všetci začali tým, že si nakreslili obrázok a označili $a=|BC|$, $b=|AC|$, $c=|AB|$ a $v=|CD|$.

Eva vedela, že výška na preponu rozdeľuje trojuholník na dva trojuholníky, ktoré sú si navzájom podobné: $$ \Delta ACD\sim \Delta CBD $$ Pomocou podobnosti trojuholníkov pokračovala: $$ \begin{gather} \frac{v}{a}=\frac{b}{v }\cr v^2=ab \end{gather} $$

Keďže obsah trojuholníka je $$ P=\frac12 ab=2\sqrt3 $$ dosadila $4\sqrt3$ za $ab$ do vzorca pre $v^2$ a dostala: $$ \begin{gather} v^2=4\sqrt3 \cr v=2\sqrt[4]{3} \end{gather} $$

Alex použil funkciu sínus: $$ \begin{gather} \sin 30^{\circ}=\frac{b}{c} \cr b=\frac12 c \end{gather} $$

Potom vyjadril obsah trojuholníka $$ P=\frac12 bc \sin 60^{\circ} $$ a dostal $$ \begin{gather} 2 \sqrt3= \frac12 \left(\frac12 c\right)c \frac{\sqrt3}{2} \cr 2\sqrt3=\frac{\sqrt3}{8} c^2 \cr c^2=16 \cr c=4 \end{gather} $$ Nakoniec vyjadril obsah trojuholníka pomocou $c$ a $v$: $$ 2\sqrt3=\frac12 cv $$

Odtiaľ vypočítal: $$ v=\sqrt3 $$

Anna použila funkciu tangens: $$ \begin{gather} \mathrm{tg}\,30^{\circ}=\frac{a}{b}\cr a=\frac{b}{\sqrt3} \end{gather} $$

Potom dosadila $a$ do vzorca pre obsah trojuholníka a získala dĺžku $b$: $$ \begin{gather} P=\frac12 ab \cr 2\sqrt3=\frac12 \frac{b^2}{\sqrt3} \cr b^2=12 \cr b=2\sqrt3 \end{gather} $$

Nakoniec určila dĺžku $v$ pomocou funkcie kosínus: $$ \begin{gather} \cos\,60^{\circ}=\frac{v}{b} \cr v=b \cos\,60^{\circ} \cr v=\sqrt3 \end{gather} $$

Ktorý z nich postupoval pri riešení úlohy správne?