Velikost výšky na přeponu

Eva, Alex a Anna řešili následující úlohu:

V pravoúhlém trojúhelníku $ABC$ je velikost úhlu $ABC$ rovna $30^{\circ}$ a obsah tohoto trojúhelníku je roven $2\sqrt3$. Určete velikost výšky na přeponu.

Všichni začali nakreslením obrázku:

a označili si $a=|BC|$, $b=|AC|$, $c=|AB|$ a $v=|CD|$.

Eva věděla, že výška na přeponu rozděluje trojúhelník na dva vzájemně podobné trojúhelníky: $$ \Delta ACD\sim \Delta CBD $$ S využitím této podobnosti vyjádřila: $$ \begin{gather} \frac{v}{a}=\frac{b}{v }\cr v^2=ab \end{gather} $$ Použila vzorec pro obsah trojúhelníku $$ P=\frac12 ab=2\sqrt3 $$ a dosadila $4\sqrt3$ za $ab$ do vzorce pro $v^2$ a obdržela: $$ \begin{gather} v^2=4\sqrt3 \cr v=2\sqrt[4]{3} \end{gather} $$

Alex použil vztah pro funkci sinus: $$ \begin{gather} \sin ⁡30^{\circ}=\frac{b}{c} \cr b=\frac12 c \end{gather} $$ Poté vyjádřil obsah trojúhelníku $$ P=\frac12 bc \sin ⁡60^{\circ} $$ a dostal $$ \begin{gather} 2 \sqrt3= \frac12 \left(\frac12 c\right)c \frac{\sqrt3}{2} \cr 2\sqrt3=\frac{\sqrt3}{8} c^2 \cr c^2=16 \cr c=4 \end{gather} $$ Nakonec vyjádřil obsah trojúhelníku pomocí $c$ a $v$: $$ 2\sqrt3=\frac12 cv $$ Odkud vypočetl: $$ v=\sqrt3 $$

Anna použila funkci tangens: $$ \begin{gather} \mathrm{tg}\,30^{\circ}=\frac{a}{b}\cr a=\frac{b}{\sqrt3} \end{gather} $$ Potom dosadila za $a$ do vztahu pro obsah trojúhelníku a získala délku strany $b$: $$ \begin{gather} P=\frac12 ab \cr 2\sqrt3=\frac12 \frac{b^2}{\sqrt3} \cr b^2=12 \cr b=2\sqrt3 \end{gather} $$

Nakonec určila délku $v$ pomocí funkce kosinus: $$ \begin{gather} \cos⁡\,60^{\circ}=\frac{v}{b} \cr v=b \cos⁡\,60^{\circ} \cr v=\sqrt3 \end{gather} $$ Kdo z nich postupoval při řešení úlohy správně?