Marek, Ján a Lucia vyriešili nasledujúcu úlohu:
Súčet prvých piatich členov rastúcej aritmetickej postupnosti $(a_n)$ je rovný $10$. Členy $a_3$, $a_5$ a $a_{13}$ v uvedenom poradí, tvoria tri po sebe nasledujúce členy geometrickej postupnosti. Nájdite vzorec pre $n$tý člen postupnosti $(a_n)$.
Všetci použili vzorec pre súčet prvých piatich členov aritmetickej postupnosti $(a_n)$ s diferenciou $d$ a dostali: $$ \begin{gather} \frac{a_1+a_1+4d}{2}\cdot 5=10 \cr a_1+2d=2 \end{gather} $$
Potom každý z nich pokračoval iným spôsobom.
Marek uvažoval, že ak $a_3$, $a_5$ a $a_{13}$ v danom poradí sú tri po sebe nasledujúce členy geometrickej postupnosti, potom $$ a_1+4d=\frac{a_1+12d}{a_1+2d} $$ Dosadil $2$ za $a_1+2d$ a vypočítal diferenciu d postupnosti $(a_n)$: $$ \begin{gather} 2+2d=\frac{2+10d}{2} \cr d=\frac13 \end{gather} $$ Nakoniec vypočítal $a_1$ a našiel vzorec pre $n$tý člen postupnosti $(a_n)$: $$ \begin{gather} a_1=2-2d=\frac43 \cr a_n=\frac43+(n-1)\frac13 \cr a_n=1+\frac{n}3 \end{gather} $$
Ján uvažoval takto: Ak sú $a_3$, $a_5$ a $a_{13}$ tri po sebe nasledujúce členy geometrickej postupnosti, potom $$ \frac{a_1+4d}{a_1+2d}=\frac{a_1+12d}{a_1+4d} $$
Dosadil $2$ za $a_1+2d$ a dostal: $$ \frac{2+2d}{2}=\frac{2+10d}{2+2d} $$
Potom odstránil zlomok z poslednej rovnice a vypočítal diferenciu: $$ \begin{gather} 4+8d+4d^2=4+20d \cr 4d(d-3)=0 \cr d=0,~d=3 \end{gather} $$
Posledné, čo mu zostalo urobiť, bolo určiť $a_1$ a vzorec pre $a_n$.
Pre $d=0$ dostal: $$ a_1=2,~a_n=2 $$ Pre $d=3$ dostal: $$ a_1=-4 $$ $$ a_n=-4+(n-1)\cdot 3=-7+3n $$
Podľa neho existujú dve aritmetické postupnosti s danou vlastnosťou.
Lucia spomenula si, že pre tri po sebe nasledujúce členy geometrickej postupnosti $a_3$, $a_5$, $a_{13}$ musí platiť: $$ (a_1+4d)^2=(a_1+2d)(a_1+12d) $$ Odstránila zátvorky na oboch stranách a zjednodušila rovnicu: $$ \begin{gather} a_1^2+8a_1 d+16d^2= a_1^2+14a_1 d+24d^2 \cr 6a_1 d+8d^2=0 \cr d(6a_1+8d)=0 \end{gather} $$ Potom uvažovala, že ak má posledná rovnica platiť, potom $d=0$ alebo $a_1=-\frac43 d$.
Pre $a_1=-\frac43 d$ dostala $$ \begin{gather} -\frac43 d+2d=2 \cr d=3\end{gather} $$ Odtiaľ $$a_1=-4$$ a $$a_n=-4+(n-1)\cdot 3=-7+3n$$
Pre $d=0$ dostala $$a_1=2,~a_n=2$$
Lucia dospela k záveru, že existujú dve aritmetické postupnosti s danou vlastnosťou.
Kto z nich vyriešil príklad správne?
Nikto z nich.
Marek
Ján a Lucia
Ján a Lucia by vyriešili príklad správne, keby vylúčili riešenie $d=0$. V tomto prípade by bola postupnosť $(a_n)$ konštantná, čo by bolo v rozpore s predpokladom.