Kvocient

Pavol, Michal a Katka riešili nasledujúcu úlohu:

Určte kvocient nekonečnej konvergentnej geometrickej postupnosti, v ktorej je prvý člen rovný $6$ a súčet všetkých jej členov je jedna osmina súčtu druhých mocnín všetkých týchto členov.

Všetci traja poznali vzorec pre súčet nekonečného konvergentného geometrického radu s prvým členom $a_1$ a kvocientom $q$: $$ S=\frac{a_1}{1-q} $$

Pavol uvažoval nasledovne: Pre súčet druhých mocnín všetkých členov danej postupnosti musí platiť: $$ S_{\square}=\frac{36}{1-q^2 } $$

Podľa zadania úlohy by malo platiť $S=\frac18 S_{\square}$.

Dostal teda rovnicu: $$ \frac{6}{1-q}=\frac18 \cdot \frac{36}{1-q^2 } $$

Následne Pavol odstránil zlomky z vyššie uvedenej rovnice, upravil výslednú rovnicu do všeobecného tvaru kvadratickej rovnice a vyriešil ju: $$ \begin{gather} 48-48q^2=36-36q \cr 4q^2-3q-1=0 \cr q_{1,2}=\frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot 4 \cdot (-1) }}{2\cdot 4} \cr q_1=1,~q_2=-\frac14 \end{gather} $$

Michal uvažoval takto:

Ak $S=\frac{6}{1-q}$, potom pre súčet druhých mocnín všetkých členov danej postupnosti by malo platiť: $$ S_{\square}=\left(\frac{6}{1-q}\right)^2 $$ Ďalej pokračoval. Ak má platiť $S=\frac18 S_{\square}$, potom: $$ \frac{6}{1-q}=\frac18 \cdot \left(\frac{6}{1-q}\right)^2 $$ Z vyššie uvedenej rovnice odstránil zlomky vynásobením oboch strán $8(1-q)^2$ a dostal: $$ \begin{gather} 48(1-q)=36 \cr q=\frac14 \end{gather} $$

Katka bola presvedčená, že tieto dve postupnosti sa líšia v kvociente, a preto by súčet druhých mocnín všetkých členov danej postupnosti mal byť: $$ S_{\square}=\frac{6}{1-q^2 } $$

Potom pokračovala takto: $$ \frac{6}{1-q}=\frac18 \cdot \frac{6}{1-q^2 } $$ Obe strany rovnice vynásobila $8(1-q^2 )$ a dostala: $$ \begin{gather} 48(1+q)=6 \cr q=-\frac78 \end{gather} $$ Dostal niekto z nich správny výsledok?