Kvocient

Pavel, Michal a Katka řešili následující úlohu:

Určete kvocient nekonečné konvergentní geometrické posloupnosti, jejíž první člen je roven $6$ a součet všech jejích členů je jedna osmina součtu druhých mocnin všech těchto členů.

Všichni tři znali vzorec pro součet nekonečné konvergentní geometrické řady s první členem $a_1$ a kvocientem $q$: $$ S=\frac{a_1}{1-q} $$

Pavel uvažoval následovně: pro součet druhých mocnin všech členů dané posloupnosti musí platit: $$ S_{\square}=\frac{36}{1-q^2 } $$ Dle zadání úlohy by mělo platit, že $S=\frac18 S_{\square}$. Dostal tedy rovnici: $$ \frac{6}{1-q}=\frac18 \cdot \frac{36}{1-q^2 } $$ Poté Pavel odstranil z rovnice zlomky, upravil výslednou kvadratickou rovnici do základního tvaru a vyřešil ji: $$ \begin{gather} 48-48q^2=36-36q \cr 4q^2-3q-1=0 \cr q_{1,2}=\frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot 4 \cdot (-1) }}{2\cdot 4} \cr q_1=1,~q_2=-\frac14 \end{gather} $$

Michal uvažoval takto: Pokud $S=\frac{6}{1-q}$, potom by pro součet druhých mocnin dané posloupnosti mělo platit, že: $$ S_{\square}=\left(\frac{6}{1-q}\right)^2 $$ Pokračoval dále, pokud má platit, že $S=\frac18 S_{\square}$, potom: $$ \frac{6}{1-q}=\frac18 \cdot \left(\frac{6}{1-q}\right)^2 $$ Z rovnice odstranil zlomky vynásobením obou stran $8(1-q)^2$ a dostal: $$ \begin{gather} 48(1-q)=36 \cr q=\frac14 \end{gather} $$

Katka byla přesvědčena, že tyto dvě posloupnosti se liší kvocientem, a proto by měl být součet druhých mocnin všech členů: $$ S_{\square}=\frac{6}{1-q^2 } $$ Potom pokračovala takto: $$ \frac{6}{1-q}=\frac18 \cdot \frac{6}{1-q^2 } $$ Vynásobila obě strany rovnice $8(1-q^2 )$ a dostala: $$ \begin{gather} 48(1+q)=6 \cr q=-\frac78 \end{gather} $$

Dostal někdo správný výsledek?