V pravouhlom trojuholníku $ABC$ s preponou $AB$ je $\sin\,(\measuredangle BAC)=0{,}3$ a $|AC|=7$. Vypočítajte obsah kružnice opísanej tomuto trojuholníku.
Agnes vyriešila tento problém takto:
(1) Najprv nakreslila tento obrázok:
(2) Pomocou vzorca $\sin^2\, \alpha + \cos^2\,\alpha=1$ vypočítala $\cos\,\alpha$: $$ \cos\,\alpha = \sqrt{1-\sin^2\,\alpha}=\sqrt{1-0{,}09}=\frac{\sqrt{91}}{10} $$
(3) Vedela, že kosínus uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer dĺžky priľahlej odvesny a dĺžky prepony, preto pokračovala: $$ \begin{gather} \cos\,\alpha =\frac{7}{2R}\cr 2R=\frac{7}{\cos\,\alpha} \cr 2R=\frac{70}{\sqrt{91}} \cr R=\frac{35}{\sqrt{91}} \end{gather} $$
(4) Nakoniec vypočítala obsah opísanej kružnice: $$P= \pi R^2 = \frac{175}{13}\pi $$
John vyriešil tento problém takto:
(1) Nakreslil rovnaký obrázok ako Agnes.
(2) Zapamätal si vzorec: $$ \frac{|AC|}{\sin\,\beta} =\frac{|BC|}{\sin\,\alpha} =2R $$
(3) Pomocou Pytagorovej vety určil dĺžku $BC$: $$ \begin{gather} |BC|^2=(2R)^2-49 \cr |BC|=\sqrt{(2R)^2-49} \end{gather} $$
(4) Potom dosadil $\sqrt{(2R)^2-49}$ za $|BC|$ do predchádzajúceho vzorca a vypočítal polomer $R$: $$ \begin{gather} \frac{\sqrt{(2R)^2-49}}{0{,}3}=2R \cr \sqrt{{(2R)^2-49}}=0{,}6R \cr 4R^2-49=0{,}36R^2 \cr R=\sqrt{\frac{49}{3{,}64}} \end{gather} $$
(5) Nakoniec vypočítal obsah opísanej kružnice: $$ P=\frac{49}{3{,}64 }\pi $$ Tu je niekoľko komentárov ich spolužiakov. Ktorý z nich je správny?
Agnes aj John vyriešili príklad správne.
Agnes a John urobili chybu v kroku (1). Obaja si príklad uľahčili tým, že stranu $AB$ nakreslili tak, aby bola priemerom opísanej kružnice, čo nemusí byť vo všeobecnosti pravda.
Príklad správne vyriešila iba Agnes.
Príklad správne vyriešil iba John.
Oba výsledky sú správne: $$ \frac{49}{3{,}64}=\frac{4900}{364}=\frac{700}{52}=\frac{175}{13} $$
