Eva mala za úlohu vyjadriť komplexné číslo $1-\mathrm{i}$ v goniometrickom tvare.
Postupovala takto:
1) Najskôr určila absolútnu hodnotu daného komplexného čísla: $$|1-\mathrm{i}|=\sqrt2$$
(2) Zo školy si pamätala, že komplexné číslo v goniometrickom tvare má svoju absolútnu hodnotu mimo zátvoriek. Preto vzala dané číslo a vybrala z neho $\sqrt2$: $$1-\mathrm{i}=\sqrt2\left(\frac{1}{\sqrt2}-\frac{\mathrm{i}}{\sqrt2}\right)$$
(3) Potom usmernila zlomky a získala komplexné číslo v tvare: $$\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt2}{2}\right)$$
(4) Nakoniec napísala výraz v zátvorkách pomocou goniometrických funkcií a uviedla, že toto je goniometrický tvar daného komplexného čísla: $$\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}-\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{4}\right)$$
V ktorom kroku riešenia urobila Eva chybu?
V kroku (1). Správny výpočet absolútnej hodnoty by mal byť: $$|1-\mathrm{i}|=\sqrt{1^2+(-\mathrm{i})^2}=0$$
V kroku (2). Správna odpoveď by mala byť:
$$1-\mathrm{i}=\sqrt2\left(\frac{1}{\sqrt2}-\mathrm{i}\right)$$
V kroku (3). Správna odpoveď by mala byť: $$\sqrt2(\sqrt2-\mathrm{i}\sqrt2)$$
V kroku (4). Uvedený výsledok nie je goniometrickým tvarom daného komplexného čísla.
Goniometrický tvar musí obsahovať súčet, nie rozdiel, t. j. $$z = r \left(\cos\varphi +\sin\varphi \right)$$
Preto je potrebné nájsť argument $\varphi$, pre ktorý platí: $$\cos\varphi=\frac{\sqrt2}{2}\ \wedge\ \sin\varphi=-\frac{\sqrt2}{2}$$
Riešením je teda: $$\varphi=\frac{7\pi}{4}+2k\pi;\ k\in\mathbb{Z}$$
Vyjadrenie komplexného čísla v goniometrickom tvare je napríklad: $$1-\mathrm{i}=\sqrt2\left(\cos\frac{7\pi}{4}+\mathrm{i}\sin\frac{7\pi}{4}\right)$$