Pre akú hodnotu parametra $m\in \mathbb{R}$ je nerovnosť $$ (m+3)x^2+(m-2)x+m-2>0 $$ splnená pre každé reálne číslo?
Filip na hodine prezentoval svoje riešenie tohto problému:
(1) Najprv predpokladajme, že nerovnosť je lineárna, t. j. koeficient kvadratického člena je nulový: $$ \begin{gather} m+3=0 \cr m=-3 \end{gather} $$ Pre $m=-3$ dostaneme nerovnosť $-5x-5>0$, ktorá nie je splnená pre všetky reálne $x$.
(2) Teraz uvažujme, že daná nerovnosť je kvadratická. Výraz na ľavej strane bude kladný pre všetky reálne $x$, ak parabola, teda graf príslušnej kvadratickej funkcie, leží celý nad osou $x$. To znamená, že parabola nemá žiadne priesečníky s osou $x$, takže diskriminant kvadratického polynómu musí byť záporný: $$ D=(m-2)^2-4(m+3)(m-2)<0 .$$ Riešením uvedenej nerovnosti dostaneme: $$ \begin{gather} -3m^2-8m+28<0 \cr m_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{64+336}}{-6} \cr m_1=-\frac{14}{3}\mathrm{~a~} m_2=2. \end{gather} $$ Upravením kvadratického výrazu na súčin pre diskriminant dostaneme: $$ -3\left(m+\frac{14}{3}\right)(m-2)<0. $$ Táto nerovnosť platí pre $m<-\frac{14}{3}$ alebo $m>2$.
(3) Z toho vyplýva, že pôvodnej nerovnosti vyhovuje každé reálne číslo $x$ vtedy a len vtedy, ak $$m\in\left(-\infty;-\frac{14}{3}\right)\cup (2;+\infty).$$
Učiteľ sa spýtal študentov, či si myslia, že Filipovo riešenie je správne. Ktorý z nasledujúcich komentárov je správny?
Laura: Filipovo riešenie nie je celkom správne. V kroku (2) zabudol na jednu podmienku, a to, že $$m+3>0.$$
Sofia: Filipovo riešenie je celkom správne. Výsledok je správny.
Petr: Filip urobil chybu v kroku (2). Mal dostať výsledok $m>-\frac{14}{3} \land m<2$. Správne riešenie je $$ m\in \left(-\frac{14}{3};2\right). $$
Libor: Filip urobil chybu v kroku (3). Správne riešenie je $$ m\in \{-3\} \cap \left[\left(-\infty;-\frac{14}{3}\right)\cup (2;+\infty)\right]. $$
Ak má byť daná nerovnosť kvadratická, potom bude platiť pre každé reálne $x$, ak sú splnené dve podmienky: $$ \Delta=(m-2)^2-4(m+3)(m-2)<0 \mathrm{~a~} m+3>0 $$ Prvá podmienka $\Delta=(m-2)^2-6(m^2-m-2)<0$ dáva výsledok $m<-\frac{14}{3} \lor m>2$ a zaručuje, že parabola nemá priesečníky s osou $x$. Druhá podmienka $m+3>0$ zaručuje, že parabola sa otvára smerom nahor, čo spolu s prvou podmienkou znamená, že leží celá nad osou $x$. Keď vyriešime nerovnosť $m+3>0$, dostaneme $m>-3$. Z toho a z podmienky $m\in \left(-\infty;-\frac{14}3\right)\cup (2;+\infty)$ je jasné, že nerovnosť platí pre všetky reálne $x$ vtedy a len vtedy, ak $$m\in(2;+\infty).$$