Pozrite si riešenie nerovnice: $$ -x^4+10x^3+11x^2>0 $$.
(1) Najprv danú nerovnicu prepíšeme na: $$ \begin{gather} -x^2(x^2-10x-11)>0 \cr x^2(x^2-10x-11)<0 \end{gather} $$
(2) Teraz rozložíme trojčlen v zátvorke pomocou diskriminantu: $$ \begin{gather} D =(-10)^2-4\cdot (-11) \cr x_1=\frac{10-\sqrt{144}}{2}=-1,x_2=\frac{10+\sqrt{144}}{2}=11 \cr x^2-10x-11=(x+1)(x-11) \end{gather} $$ (3) Nakoniec nerovnicu prepíšeme na súčin troch činiteľov: $$ x^2(x+1)(x-11)<0 $$
(4) Nech $P(x)=x^2(x+1)(x-11)$. Hneď si všimneme, že $P(x)=0$, keď $x=-1$, $0$ a $11$. Tieto nulové body delia číselnú os na intervaly: $$ (- \infty;-1),~(-1;0),~(0;11),~(11;+\infty) $$ (5) Vieme, že $P(x)$ mení znamienko vždy, keď $x$ prechádza nulovým bodom. $P(x)>0$ na prvom intervale $(- \infty;-1)$. Môžeme teda konštatovať, že množina riešení nerovnice je množina všetkých $$x\in (-1;0)\cup (11;+\infty).$$ Je v riešení chyba, alebo je všetko v poriadku?
Riešenie je správne.
Chyba je v kroku (2). Trojčlen treba rozložiť takto: $$ x^2-10x-11=(x-1)(x+11) $$
Chyba je v kroku (4). Polynóm $P(x)=x^2(x+1)(x-11)$ by sa mal deliť $x^2$. Výsledkom sú intervaly: $(- \infty;-1)$, $(-1;11)$, $(11;+\infty)$.
Chyba je v kroku (5). Riešenie nie je správne.
Polynóm nemení znamienko vždy, keď $x$ prechádza nulovým bodom. To je presne prípad polynómu $P(x)=x^2(x+1)(x-11)$. Pozri tabuľku: | $x$ | $(- \infty;-1)$ | $(-1;0)$ | $(0;11)$ | $(11;+\infty)$ |:------:|:---------------:|:---------:|:---------:|:--------------:| $x^2$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $x+1$ | $-$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $x-11$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $+$ | $P(x)$ | $\oplus$ | $\ominus$ | $\ominus$ | $\oplus$
Z tabuľky je zrejmé, že množina riešení nerovnosti je množina všetkých $$x\in (−1;0)\cup (0;11)$$
Dôležité je, že polynóm $P(x)=x^2(x+1)(x-11)$ má člen $x^2$, takže $x=0$ je dvojnásobným koreňom $P(x)=0$. V takýchto prípadoch polynóm nemení znamienko, keď $x$ prechádza týmto nulovým bodom.