Observa cómo se resuelve la inecuación $$ -x^4+10x^3+11x^2>0 $$
(1) Primero reescribimos la inecuación dada como: $$ \begin{gather} -x^2(x^2-10x-11)>0 \cr x^2(x^2-10x-11)<0 \end{gather} $$
(2) Ahora factorizamos el trinomio dentro del paréntesis: $$ \begin{gather} D =(-10)^2-4\cdot (-11) \cr x_1=\frac{10-\sqrt{144}}{2}=-1,x_2=\frac{10+\sqrt{144}}{2}=11 \cr x^2-10x-11=(x+1)(x-11) \end{gather} $$ (3) Por último, reescribimos la inecuación como producto de tres factores: $$ x^2(x+1)(x-11)<0 $$
(4) Sea $P(x)=x^2(x+1)(x-11)$. Observamos inmediatamente que $P(x)=0$ cuando $x=-1$, $0$ y $11$. Estos puntos cero dividen la recta numérica en intervalos: $$ (- \infty;-1),~(-1;0),~(0;11),~(11;+\infty) $$ (5) Sabemos, que $P(x)$ cambia de signo siempre que $x$ pasa por un punto cero. $P(x)>0$ en el primer intervalo $(- \infty;-1)$. Por lo tanto, podemos concluir que el conjunto solución de la desigualdad es el conjunto de todos los $$x\in (-1;0)\cup (11;+\infty).$$ ¿Hay algún error en la solución o todo es correcto?
La solución es correcta.
El error está en el paso (2). El trinomio debe ser factorizado de esta manera: $$ x^2-10x-11=(x-1)(x+11) $$
El error está en el paso (4). El polinomio $P(x)=x^2(x+1)(x-11)$ debe dividirse por el factor $x^2$ al cuadrado. Esto da como resultado los intervalos: $(- \infty;-1)$, $(-1;11)$, $(11;+\infty)$.
El error está en el paso (5). La solución no es correcta.
Un polinomio no siempre cambia de signo cuando $x$ pasa por un punto cero. Este es justamente el caso del polinomio $P(x)=x^2(x+1)(x-11)$. Véase la tabla:
| $x$ | $(- \infty;-1)$ | $(-1;0)$ | $(0;11)$ | $(11;+\infty)$ |
|---|---|---|---|---|
| $x^2$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |
| $x+1$ | $-$ | $+$ | $+$ | $+$ |
| $x-11$ | $-$ | $-$ | $-$ | $+$ |
| $P(x)$ | $\oplus$ | $\ominus$ | $\ominus$ | $\oplus$ |
A partir de la tabla, es evidente que el conjunto de soluciones de la inecuación es el conjunto de todos los $$x\in (−1;0)\cup (0;11)$$
Es importante destacar que el polinomio $P(x)=x^2(x+1)(x-11)$ tiene el factor cuadrático $x^2$, lo que hace que $x=0$ sea una raíz doble de $P(x)=0$. En estos casos, el polinomio no cambia de signo cuando $x$ pasa por este punto cero.