Adam vyriešil rovnicu $$ \bigl||x-3|-2\bigr|=1 $$ takto:
(1) Vedel, že $|x|^2=x^2$, preto sa rozhodol odstrániť absolútnu hodnotu umocnením oboch strán rovnice: $$ \begin{align} (|x-3|-2)^2=1^2 \cr (x-3)^2-2\cdot 2(x-3)+4=1 \end{align} $$ (2) Potom vykonal potrebné matematické operácie na zjednodušenie rovnice: $$ \begin{align} x^2-6x+9-4x+12+4=1 \cr x^2-10x+24=0 \end{align} $$
(3) Výslednú kvadratickú rovnicu vyriešil: $$ \begin{align} x_{1,2}=\frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2-4 \cdot 1 \cdot 24}}{2\cdot 1} \cr x_1=\frac{10+\sqrt{4}}{2}=6, ~x_2=\frac{10−\sqrt{4}}{2}=4 \end{align} $$
(4) Nakoniec vykonal skúšku, aby overil svoje riešenie: $$ \begin{align} x=6: L=\bigl||6−3|−2\bigr|=\bigl||3|−2\bigr|=|1|=1 \Rightarrow L=P \cr x=4: L=\bigl||4−3|−2\bigr|=\bigl||1|−2\bigr|=|−1|=1 \Rightarrow L=P \end{align} $$ Adam je presvedčený, že rovnicu vyriešil správne a riešenia sú $x=6$ a $x=4$.
Tu je niekoľko komentárov k jeho riešeniu. Ktoré z nich je správne?
Komentár 1. Chybu urobil v kroku (1) pri umocnení.
Komentár 2. Adamovo riešenie je úplne v poriadku. Skúška vyšla.
Komentár 3. Pri zjednodušení rovnice urobil chybu v kroku (2).
Komentár 4. Rovnicu nemožno vyriešiť umocnením.
$$ \begin{align} (|x-3|-2)^2=1^2 \cr (x-3)^2-2\cdot 2|x-3|+4=1 \end{align} $$ Keďže $|x-3|=x-3$ pre $x\geq 3$ a $|x-3|=-(x-3)$ pre $x<3$, dostaneme dve rôzne rovnice: $$ x^2-10x+24=0 \mathrm{~pre~} x\geq 3 \mathrm{~a~} x^2-2x=0 \mathrm{~pre~} x<3. $$ Druhá rovnica má korene $x=0$ a $x=2$, ktoré sú tiež riešeniami pôvodnej rovnice. Daná rovnica má teda štyri riešenia: $x=6$, $x=4$, $x=0$, $x=2$.