Adam řešil rovnici $$ \bigl||x−3|−2\bigr|=1 $$ následovně:
(1) Věděl, že $|x|^2=x^2$, proto se rozhodl zbavit absolutní hodnoty umocněním obou stran rovnice na druhou: $$ \begin{align} (|x-3|-2)^2=1^2 \cr (x-3)^2−2\cdot 2(x-3)+4=1. \end{align} $$ (2) Poté provedl sérii úprav vedoucích ke zjednodušení rovnice: $$ \begin{align} x^2−6x+9−4x+12+4=1, \cr x^2−10x+24=0. \end{align} $$
(3) Vyřešil výslednou kvadratickou rovnici: $$ \begin{align} x_{1,2}=\frac{-(-10) \pm \sqrt{(−10)^2−4 \cdot 1 \cdot 24}}{2\cdot 1}, \cr x_1=\frac{10+\sqrt{4}}{2}=6, ~x_2=\frac{10−\sqrt{4}}{2}=4. \end{align} $$
(4) Nakonec provedl zkoušku, aby se přesvědčil, že nalezené hodnoty skutečně řeší původní rovnici: $$ \begin{align} x=6: L=\bigl||6−3|−2\bigr|=\bigl||3|−2\bigr|=|1|=1 \Rightarrow L=P \cr x=4: L=\bigl||4−3|−2\bigr|=\bigl||1|−2\bigr|=|−1|=1 \Rightarrow L=P \end{align} $$ Adam je přesvědčen, že vyřešil rovnici správně a že kořeny jsou $x=6$ a $x=4$.
Zde jsou komentáře k jeho řešení. Který z nich je správný?
Komentář 1. Chybu udělal v kroku (1) ve výpočtu druhé mocniny.
Komentář 2. Adamovo řešení je v pořádku. Zkouška vyšla.
Komentář 3. Chyba je v kroku (2), tj. ve zjednodušování rovnice.
Komentář 4. Úloha nemůže být řešena umocněním na druhou.
$$ \begin{align} (|x−3|−2)^2=1^2 \cr (x−3)^2−2\cdot 2|x−3|+4=1 \end{align} $$ Jelikož $|x−3|=x−3$ pro $x\geq 3$ a $|x−3|=−(x−3)$ pro $x<3$, obdržíme po zjednodušení tyto dvě rovnice: $$ x^2−10x+24=0 \mathrm{~pro~} x\geq 3 \mathrm{~a~} x^2−2x=0 \mathrm{~pro~} x<3. $$
Druhá rovnice má kořeny $x=0$ a $x=2$, které zároveň řeší původní rovnici. Proto má původní rovnice čtyři řešení $x=6$, $x=4$, $x=0$, $x=2$.