Pavol vyriešil rovnicu $$ \frac{2x^2-1}{x}=\frac{4x^2-1}{x}+6 $$ v nasledujúcich krokoch:
(1) Zjednodušil zlomky vydelením čitateľa aj menovateľa číslom $x$: $$ 2x-1=4x-1+6 $$
(2) Presunul všetky výrazy s premennými na ľavú stranu rovnice a všetky konštanty na pravú stranu. Potom na každej strane rovnice urobil tieto úpravy: $$\begin{aligned} 2x−4x&=−1+6+1 \cr −2x&=6 \end{aligned}$$
(3) Rovnicu vydelil číslom $-2$, aby získal riešenie: $$\begin{aligned} \frac{−2x}{−2}&=\frac{6}{−2}\cr x&=−3 \end{aligned}$$
(4) Nakoniec skontroloval riešenie rovnice: $$\begin{aligned} L &= \frac{2(-3)^2-1}{-3}=\frac{2 \cdot 9-1}{-3}=\frac{18-1}{-3}=-\frac{17}{3} \cr P&=\frac{4(−3)^2−1}{−3}+6=\frac{4 \cdot 9−1}{−3}+6=\frac{36−1}{−3} +6=\frac{−35}{3}+\frac{18}{3}=−\frac{17}{3} \end{aligned}$$
Jeho spolužiaci Ján, Erika, Peter a Barbora komentovali jeho riešenie. Ktorý z nich správne komentoval Pavlovo riešenie?
Ján hovorí, že Pavlovo riešenie je nesprávne a že Pavol urobil chybu v kroku (1).
Erika tvrdí, že Pavol urobil chybu v kroku (3). Záporné znamienko na oboch stranách rovnice vedie ku kladnému riešeniu, a to $x=3$.
Peter tvrdí, že Pavol urobil chybu v kroku (2). Mal dostať rovnicu $2x=6$.
Barbora si myslí, že Pavlovo riešenie je správne. Skúška vyšla.
Zo zadania rovnice vyplýva, že $x$ sa nesmie rovnať nule. Za tohto predpokladu môžeme obe strany rovnice vynásobiť neznámou $x$ (nezabudneme vynásobiť konštantný člen $6$) a postupne dostaneme: $$\begin{aligned} \frac{2x^2-1}{x}&=\frac{4x^2-1}{x}+6 \cr 2x^2-1&=4x^2-1+6x \cr 2x^2+6x&=0 \cr 2x(x+3)&=0 \end{aligned}$$ Súčin je rovný nule vtedy a len vtedy, ak jeden alebo viac členov je nulových, t.j. $x=0$ alebo $x=-3$. Keďže $x$ sa nesmie rovnať nule (inak by zlomok nebol definovaný), zostáva len jedno riešenie, a to $x=-3$.