Študenti mali za úlohu vyriešiť nasledujúci problém:
Hladina intenzity zvuku (hlučnosť) $y$ sa meria v logaritmickej stupnici pomocou jednotky decibel ($\mathrm{dB}$) a vyjadruje sa vzorcom: $$ y=10\log\frac{x}{x_0} $$ kde $x$ je intenzita zvuku (meraná v $W\cdot m^{-2}$) a $x_0$ je intenzita najslabšieho zvuku, ktorý ľudské ucho dokáže zachytiť ($x_0=10^{-12}\, W\cdot m^{-2}$).
Hlučnosť práčky je počas prania približne $50$ decibelov, ale počas odstreďovania sa môže zvýšiť až na $75$ decibelov.
Koľkokrát intenzívnejší je zvuk práčky počas odstreďovania v porovnaní s intenzitou zvuku počas prania?
Alica: To je veľmi jednoduchá otázka. Zvuk počas otáčania je $1{,}5$ krát intenzívnejší, pretože: $$ \frac{75}{50}=\frac32=1{,}5 $$
Bob: Na vyriešenie úlohy musíme dosadiť hodnoty do daného vzorca: $$ \frac{y_2}{y_1}=\frac{10\log\frac{75}{x_0}}{10\log\frac{50}{x_0}} $$
Potom v zlomku pokrátime $10$ v čitateli a menovateli a použijeme pravidlo, že logaritmus podielu sa rovná rozdielu logaritmov. Za $x_0$ dosadíme $1$: $$ \frac{y_2}{y_1}=\frac{10\log\frac{75}{x_0}}{10\log\frac{50}{x_0}}=\log 75- \log 50=0{,}176 $$ Takže zvuk počas odstreďovania je asi o $18\%$ intenzívnejší ako zvuk počas prania.
Cecília: Na vyriešenie úlohy dosadíme do daného vzorca: $$ \frac{y_2}{y_1}=\frac{10\log\frac{75}{x_0}}{10\log\frac{50}{x_0}} $$ Pokrátime v zlomku $10$ a nahradíme $x_0=1$: $$ \frac{y_2}{y_1}=\frac{10\log\frac{75}{x_0}}{10\log\frac{50}{x_0}}=\frac{\log75}{\log50}=1{,}104 $$ Takže zvuk počas odstreďovania je približne o $110\%$ intenzívnejší ako počas prania. To znamená, že zvuk je viac ako dvakrát silnejší.
David: Musíme dosadiť do daného vzorca, kde $y$ predstavuje hladinu zvuku v decibeloch: $$ \begin{aligned} 50=10\log\frac{x_1}{x_0} \cr 5=\log\frac{x_1}{x_0} \cr 10^5=\frac{x_1}{x_0} \cr x_1=10^5\cdot x_0 \end{aligned} $$ A podobne: $$ x_2=10^{7{,}5}\cdot x_0 $$ Preto: $$ \frac{x_2}{x_1}=\frac{10^{7{,}5}\cdot x_0}{10^{5}\cdot x_0}=\frac{10^{7{,}5}}{10^5}=10^{2{,}5} \doteq 316 $$ Takže zvuk počas odstreďovania je približne $316$ krát intenzívnejší ako počas prania.
Ktorý žiak vyriešil úlohu správne?
Alica
Bob
Cecília
Dávid
Nikto
Tu je stručné vysvetlenie rozdielu medzi intenzitou a hlasitosťou zvuku:
Intenzita zvuku je fyzikálna veličina, ktorá popisuje, koľko energie zvuková vlna prenesie za jednu sekundu jednotkovou plochou. Meria sa vo wattoch na meter štvorcový ($\mathrm{W}/{m}^2$) a závisí len od zdroja a vzdialenosti - nie od toho, ako zvuk vnímame.
Na prepojenie intenzity s tým, ako zvuk vnímame, používame hladinu intenzity zvuku (hlučnosť), ktorá sa meria v decibeloch ($\mathrm{dB}$). Táto logaritmická stupnica prevedie široký rozsah intenzity do ľahšie porovnateľných čísel a lepšie odráža to, ako vnímame rozdiely v hlasitosti.