$\int \frac{2x}{x^2+1} \mathrm{d}x$

Študenti Alica, Róbert, Kristína a Dávid dostali za úlohu vypočítať neurčitý integrál: $$\int \frac{2x}{x^2+1} \mathrm{d}x$$

Riešili ho nasledujúcimi spôsobmi:

Alica si zapamätala, že ak integruje funkciu v tvare $\frac{g'}{g}$ (t. j. zlomok, kde čitateľ je derivácia menovateľa), integrál je rovný $\ln⁡|g|+c$. Potom dospela k záveru: $$ \int \frac{2x}{x^2+1} \mathrm{d}x=\ln⁡|x^2+1|+c,c\in\mathbb{R}. $$

Róbert si uvedomil, že ide o integrál podielu dvoch funkcií. Integroval čitateľa a menovateľa samostatne a dostal: $$ \int \frac{2x}{x^2+1} \mathrm{d}x=\frac{x^2}{\frac{x^3}{3}+x}+c, c\in\mathbb{R}. $$

Kristína rozhodla sa použiť substitúciu $x^2+1=t$. Určila vzťah medzi diferenciálmi $2x\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ a použila túto substitúciu na vyriešenie integrálu: $$ \int \frac{2x}{x^2+1} \mathrm{d}x=\int \frac{\mathrm{d}t}{t}=\ln⁡|t|+c=\ln⁡|x^2+1|+c,c\in\mathbb{R}. $$

Dávid upravil výraz na súčet dvoch zlomkov, ktoré integroval samostatne $$ \int \frac{2x}{x^2+1} \mathrm{d}x=\int \left(\frac{2x}{x^2} +\frac{2x}{1}\right) \mathrm{d}x=\int \left(\frac{2}{x}+2x\right)\mathrm{d}x=2 \ln⁡|x|+x^2+c, c\in\mathbb{R}. $$

Kto zo študentov vyriešil integrál správne? Zvážte celý postup výpočtu, nielen výsledok.