Uczniowie Alicja, Bob, Christine i Dawid mieli za zadanie obliczyć całkę nieoznaczoną: $$\int \frac{2x}{x^2+1} \mathrm{d}x$$
Rozwiązali to w następujący sposób:
Alice przypomniała sobie, że jeśli całkujemy funkcję postaci $\frac{g'}{g}$ (ułamek, którego licznik jest pochodną mianownika), całka jest równa $\ln|g|+c$. Następnie podsumowała: $$ \int \frac{2x}{x^2+1} \mathrm{d}x=\ln|x^2+1|+c,c\in\mathbb{R}. $$
Bob zdał sobie sprawę, że jest to całka z ilorazu dwóch funkcji. Zintegrował licznik i mianownik osobno i otrzymał: $$ \int \frac{2x}{x^2+1} \mathrm{d}x=\frac{x^2}{\frac{x^3}{3}+x}+c, c\in\mathbb{R}. $$
Christine zdecydowała się zastosować podmianę $x^2+1=t$. Określiła zależność między różnicami $2x\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ i użyła podstawienia do rozwiązania całki: $$ \int \frac{2x}{x^2+1} \mathrm{d}x=\int \frac{\mathrm{d}t}{t}=\ln|t|+c=\ln|x^2+1|+c,c\in\mathbb{R}. $$
David zmodyfikował wyrażenie w całce na sumę dwóch ułamków, które całkował oddzielnie: $$ \int \frac{2x}{x^2+1} \mathrm{d}x=\int \left(\frac{2x}{x^2} +\frac{2x}{1}\right) \mathrm{d}x=\int \left(\frac{2}{x}+2x\right)\mathrm{d}x=2 \ln|x|+x^2+c, c\in\mathbb{R}. $$
Kto z uczniów poprawnie rozwiązał całkę? Weź pod uwagę całość obliczeń, a nie tylko wynik.
Zarówno Alice, jak i Christine
Tylko Alice
Tylko Bob
Tylko Christine
Tylko David
Nikt
Christine i Alice użyły równoważnej procedury do rozwiązania całki. Obie wykonały poprawne obliczenia i otrzymały prawidłowy wynik, ważny w przedziale$(-\infty,+\infty)$. David i Bob popełnili podstawowe błędy. Bob nie zdawał sobie sprawy, że całka z ilorazu dwóch funkcji nie jest równa ilorazowi dwóch odpowiednich całek. David wykonał nieprawidłową modyfikację. Równość $\frac{2x}{x^2+1}=\frac{2x}{x^2} +\frac{2x}{1}$ nie jest prawdą.