Pozorne si preštudujte nasledujúce kroky pri riešení exponenciálnej rovnice: $$ 6^{1+x}+6^{1+x}=12 $$ 1) Najprv sčítajte členy na ľavej strane rovnice: $$ 2 \cdot 6^{1+x}=12 $$ 2) Potom upravte ľavú a pravú stranu rovnice tak, aby obe strany mali mocninu s rovnakým základom $12$: $$ 12^{1+x}=12^1 $$ 3) Keďže základy na oboch stranách sú rovnaké, musia byť rovnaké aj exponenty: $$ 1+x=1 $$ 4) Rovnosť platí pre: $$ x=0 $$ Skúšku nie je potrebné vykonávať. Napriek tomu spätné dosadenie potvrdzuje správnosť riešenia. Je v niektorom z týchto krokov chyba? Ak áno, uveďte, o aký krok ide.
Áno. V kroku (1) je chyba. Rovnosť $6^{1+x}+6^{1+x}=2\cdot 6^{1+x}$ vo všeobecnosti neplatí. Mala by byť: $$6^{1+x}+6^{1+x}=6^{2+2x}$$
Áno. V kroku (2) je chyba. Úprava ľavej strany $2\cdot 6^{1+x}=12^{1+x}$ rovnice je nesprávna.
Áno. V kroku (3) je chyba. Rovnosť $12^{1+x}=12^1$ znamená $1+x=1$ alebo $1+x=0$. Keďže sa neuvažoval prípad $1+x=0$, nenašli sa všetky riešenia.
Nie. Celý postup je správny.
Správny postup riešenia exponenciálnej rovnice: $$6^{1+x}+6^{1+x}=12$$ 1) Sčítame členy na ľavej strane rovnice: $$ 2\cdot 6^{1+x}=12$$ 2) Celú rovnicu vydelíme číslom $2$ a obe strany rovnice upravíme tak, aby mali mocniny s rovnakým základom: $$ 6^{1+x}=6^1 $$ 3) Keďže základy sú rovnaké, musia byť rovnaké aj exponenty: $$ 1+x=1 $$ 4) Rovnosť platí vtedy a len vtedy ak: $$ x=0 $$ Poznámka: Keďže pri riešení boli použité len ekvivalentné úpravy, následná skúška nie je potrebná.