$\cos\frac{\pi}{7}$

Adam tvrdí, že $\cos\frac{\pi}{7}$ je rovný každému z nasledujúcich štyroch výrazov: $$\cos⁡\left(-\frac{\pi}{7}\right),\quad \cos\frac{13\pi}{7},\quad\cos\frac{⁡8\pi}{7},\quad\sin⁡\frac{9\pi}{14}$$

Hovorí, že:

(1) Kosínus je párna funkcia, takže $$\cos⁡\frac{\pi}{7}=\cos⁡\left(-\frac{\pi}{7}\right).$$

(2) Kosínus je párna a periodická funkcia s periódou $2\pi$, takže $$\cos\frac{\pi}{7}=\cos\left(-\frac{\pi}{7}\right)=\cos⁡\left(-\frac{\pi}{7}+2\pi\right)=\cos\frac{13\pi}{7}.$$

(3) Platí, že $\cos x = \cos (x + \pi)$ pre každé reálne číslo $x$, takže $$\cos\frac{⁡\pi}{7}=\cos\left(\frac{\pi}{7}+\pi\right)=\cos⁡\frac{8\pi}{7}.$$

(4) Platí, že $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ pre každé reálne číslo $x$, takže $$\cos⁡\frac{\pi}{7}=\sin⁡\left(\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{2}\right)=\sin⁡\frac{9\pi}{14}.$$

Adamovi spolužiaci komentovali jeho vyjadrenia:

• Ján: „Adam má pravdu.”
• Eliška: “Adamove tvrdenia (1) a (2) sú nesprávne. Kosínus je nepárna funkcia.”
• Pavol: „Adamovo tvrdenie (2) je nesprávne. Kosínus je periodická funkcia s periódou $\pi$.”
• Mária: „Adamovo tvrdenie (3) je nesprávne. Platí, že $\cos x=-\cos(x+\pi)$ pre každé reálne číslo $x$.”
• Lucia: „Adamovo tvrdenie (4) je nesprávne. Platí, že $\cos x=\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$ pre každé reálne číslo $x$.”

Určte, ktorý z Adamových spolužiakov má pravdu.