$\cos\frac{\pi}{7}$

Adam afirma que $\cos\frac{\pi}{7}$ es igual a cada una de las cuatro expresiones siguientes: $$\cos⁡\left(-\frac{\pi}{7}\right),\quad \cos\frac{13\pi}{7},\quad\cos\frac{⁡8\pi}{7},\quad\sin⁡\frac{9\pi}{14}$$

Dice que:

(1) El coseno es una función par, por lo que $$\cos⁡\frac{\pi}{7}=\cos⁡\left(-\frac{\pi}{7}\right).$$

(2) El coseno es una función par y periódica con periodo $2\pi$, por lo que $$\cos\frac{\pi}{7}=\cos\left(-\frac{\pi}{7}\right)=\cos⁡\left(-\frac{\pi}{7}+2\pi\right)=\cos\frac{13\pi}{7}.$$

(3) Se cumple que $\cos⁡x=\cos⁡(x+\pi)$ para todo número real $x$, por lo que $$\cos\frac{⁡\pi}{7}=\cos\left(\frac{\pi}{7}+\pi\right)=\cos⁡\frac{8\pi}{7}.$$

(4) Se cumple que $\cos⁡x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ para todo número real $x$, por lo que $$\cos⁡\frac{\pi}{7}=\sin⁡\left(\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{2}\right)=\sin⁡\frac{9\pi}{14}.$$

Los compañeros de Adam comentaron sus afirmaciones:

• John: “Adam tiene razón”
• Elisabeth: “Las afirmaciones (1) y (2) de Adam son falsas. El coseno es una función impar.”
• Paul: “La afirmación (2) de Adam es falsa. El coseno es una función periódica con período $\pi$.”
• Mary: “La afirmación de Adam (3) es falsa. Se cumple que $\cos⁡x=-\cos(x+\pi)$ para todo número real $x$.”
• Lucy: “La afirmación de Adam (4) es falsa. Se cumple que $\cos⁡x=\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$ para todo número real $x$.”

Determina cuál de los compañeros de Adam es el que tiene razón.