Studenci mieli za zadanie rozwiązać następujący problem:
Poziom natężenia dźwięku (głośności) $y$ jest mierzony w skali logarytmicznej przy użyciu jednostki decybel ($\mathrm{dB}$) i jest wyrażony wzorem: $$ y=10\log\frac{x}{x_0} $$ gdzie $x$ to natężenie dźwięku (mierzone w $W\cdot m^{-2}$) i $x_0$ to natężenie najsłabszego dźwięku, jaki może wykryć ludzkie ucho ($x_0=10^{-12}\, W\cdot m^{-2}$).
Poziom hałasu pralki wynosi około 50 USD decybeli podczas prania, ale może wzrosnąć do 75 USD decybeli podczas wirowania.
Ile razy bardziej intensywny jest dźwięk pralki podczas wirowania w porównaniu do intensywności dźwięku podczas prania?
Alice: To jest bardzo łatwe pytanie. Dźwięk podczas wirowania jest $1{,}5$ razy bardziej intensywny, ponieważ: $$ \frac{75}{50}=\frac32=1{,}5 $$
Bob: Aby rozwiązać zadanie, musimy podstawić wartości do podanego wzoru: $$ \frac{y_2}{y_1}=\frac{10\log\frac{75}{x_0}}{10\log\frac{50}{x_0}} $$ Następnie anulujemy $10$ w liczniku i mianowniku i skorzystamy z zasady, że stosunek logarytmów równa się różnicy logarytmów. Za $x_0$ podstawiamy $1$: $$ \frac{y_2}{y_1}=\frac{10\log\frac{75}{x_0}}{10\log\frac{50}{x_0}}=\log 75- \log 50=0{,}176 $$
Tak więc dźwięk podczas wirowania jest o około 18\% $ bardziej intensywny niż dźwięk podczas prania.
Cecylia: Aby rozwiązać zadanie, podstawiamy do podanego wzoru: $$ \frac{y_2}{y_1}=\frac{10\log\frac{75}{x_0}}{10\log\frac{50}{x_0}} $$ Anulujemy $10$ i podstawiamy $x_0=1$: $$ \frac{y_2}{y_1}=\frac{10\log\frac{75}{x_0}}{10\log\frac{50}{x_0}}=\frac{\log75}{\log50}=1{,}104 $$ Dźwięk podczas wirowania jest więc o około $110\%$ bardziej intensywny niż podczas prania. Oznacza to, że dźwięk jest ponad dwukrotnie silniejszy.
David: Musimy podstawić do podanego wzoru, gdzie $y$ reprezentuje poziom dźwięku w decybelach: $$ \begin{aligned} 50=10\log\frac{x_1}{x_0} \cr 5=\log\frac{x_1}{x_0} \cr 10^5=\frac{x_1}{x_0} \cr x_1=10^5\cdot x_0 \end{aligned} $$ I podobnie: $$ x_2=10^{7{,}5}\cdot x_0 $$ Dlatego: $$ \frac{x_2}{x_1}=\frac{10^{7{,}5}\cdot x_0}{10^{5}\cdot x_0}=\frac{10^{7{,}5}}{10^5}=10^{2{,}5} \doteq 316 $$
Zatem dźwięk podczas wirowania jest około 316 razy bardziej intensywny niż podczas prania.
Który uczeń poprawnie rozwiązał zadanie?
Alice
Bob
Cecilia
David
Nikt
Oto krótkie wyjaśnienie różnicy między natężeniem dźwięku a głośnością:
Natężenie dźwięku to wielkość fizyczna opisująca ilość energii przenoszonej przez falę dźwiękową przez jednostkę powierzchni w ciągu sekundy. Mierzone jest w watach na metr kwadratowy ($\mathrm{W}/{m}^2$) i zależy tylko od źródła i odległości - nie od tego, jak odbieramy dźwięk.
Aby odnieść intensywność do tego, jak słyszymy dźwięk, używamy poziomu natężenia dźwięku (głośności), mierzonego w decybelach ($\mathrm{dB}$). Ta logarytmiczna skala kompresuje szeroki zakres intensywności w łatwe do opanowania liczby i lepiej odzwierciedla sposób, w jaki postrzegamy różnice w głośności.