Zakres funkcji

Peter, Anne i Elis otrzymali zadanie znalezienia zakresu funkcji: $$ f(x) = x^2 - 2x - 3 $$ z ograniczoną dziedziną $D(f) = \langle 0, 4\rangle$.

Najpierw wszyscy trzej uczniowie obliczyli wartości funkcji w punktach końcowych dziedziny i stwierdzili, że $f(0) = -3$ i $f(4) = 5$. Następnie postąpili inaczej:

Piotr: Na podstawie obliczonych wartości w punktach końcowych stwierdził, że zakres funkcji wynosi: $$H(f) = \langle -3, 5\rangle$$

Anne: stwierdziła, że przedziału nie można określić wyłącznie na podstawie wartości funkcji w punktach końcowych dziedziny, ale że konieczne jest obliczenie wartości w innych punktach w dziedzinie, w szczególności w $x = 1 $, $ 2 $ i $ 3 $. Obliczając te wartości, otrzymała: $$ f(1) = -4,~f(2) = -3,~f(3) = 0. $$ Ponieważ najmniejszą uzyskaną wartością było $-4$, Anne stwierdziła, że zakres wynosi: $$ H(f) = \langle -4, 5\rangle $$

Elis: Przepisała funkcję $f$ w następujący sposób: $$ f(x) = x^2 - 2x - 3 = (x^2 - 2x + 1) - 4 = (x - 1)^2 - 4 $$ Zdała sobie sprawę, że wyrażenie $(x - 1)^2$ osiąga swoją minimalną wartość w $x=1$ na przedziale $\langle 0, 4\rangle$, ponieważ wyrażenie to jest nieujemne dla wszystkich $x$ i jest równe zero w $x = 1$. Wyrażenie to osiąga maksimum przy $x=4$ (wartość $9$) na przedziale $\langle 0, 4\rangle$. Ponieważ $f(1) = -4$ i $f(4) = 5$, Elis doszła do wniosku, że zakres wynosi: $$ H(f) = \langle -4, 5\rangle $$

Monika: Monice spodobał się sposób, w jaki Elis przepisała funkcję, ale jej dalsze rozumowanie było inne. Powiedziała, że zakres funkcji można określić na podstawie jej wykresu. Wykresem tej funkcji kwadratowej jest parabola, a ponieważ współczynnik członu kwadratowego jest dodatni, parabola otwiera się w górę. Ekstrema mogą występować w wierzchołkach paraboli lub w punktach końcowych dziedziny $D(f) = \langle 0, 4\rangle$. Z równania: $$ f(x) = (x - 1)^2 - 4 $$ jest jasne, że wierzchołek znajduje się w $x=1$. Do sprawdzenia są więc trzy punkty krytyczne: $$ x = 0,~x = 4~\mathrm{i}~ x = 1. $$ Monika wyliczyła $$ f(0) = -3,~f(4) = 5~\mathrm{i}~f(1) = -4. $$ Z tych obliczeń wynika, że minimalna wartość wynosi $-4$, a maksymalna $5$. Zatem zakres wynosi: $$ H(f) = \langle -4, 5\rangle $$ Kto rozwiązał zadanie poprawnie?