Wykres funkcji $f(x) = x^{-2}$ przedstawiono na rysunku. Zadaniem Martyny było narysowanie wykresu funkcji $$ g(x) = -f(x + 3) + 2$$ na tym samym rysunku.
Martina skonstruowała graf $g$ w następujących krokach:
(1) Używając koloru niebieskiego, narysowała wykres funkcji: $$ f_1(x) = f(x) + 2 $$ Uzyskała ten wykres poprzez przesunięcie wykresu $f$ w górę o $2$ jednostki wzdłuż osi $y$.
(2) Następnie, używając koloru zielonego, narysowała wykres funkcji: $$ f_2(x) = f_1(x + 3) = f(x + 3) + 2 $$ Uzyskała ten wykres, przesuwając niebieski wykres $f_1$ o $3$ jednostki w lewo wzdłuż osi $x$.
(3) Na koniec, używając koloru czerwonego, narysowała żądany wykres $$ g(x) = -f_2(x) = -f(x + 3) + 2. $$ Uzyskała ten wykres odwracając zielony wykres $f_2$ wokół osi $x$.
Czy Martyna poprawnie narysowała wykres? Jeśli nie, wskaż nieprawidłowy krok.
Nie. Popełniła błąd w kroku (1). Nie może zacząć od przesunięcia wykresu w górę.
Nie. Popełniła błąd w kroku (1). Powinna była przetłumaczyć wykres $f$ w dół, a nie w górę.
Nie. Popełniła błąd w kroku (2).
Nie. Popełniła błąd w kroku (3).
Tak. Prawidłowo narysowała wykres.
Zamiast konstruować wykres funkcji $g(x) = -f(x + 3) + 2$, Martyna skonstruowała wykres innej funkcji: $$ f_4(x) = -f(x + 3) - 2 $$ W kroku (3) zastosowała symetrię względem osi $x$, przekształcając wykres $$ f_2(x) = f(x + 3) + 2$$ w wykres $$ f_4(x) = -f_2(x) = -[f(x + 3) + 2] = -f(x + 3) - 2.$$ Aby uzyskać poprawny wykres $g$, musiałaby wykonać dodatkowy krok i przetłumaczyć wykres $f_4$ o $4$ jednostki w górę.
Bardziej efektywny sposób na skonstruowanie wykresu $g$ jest następujący:
Skonstruuj wykres $f_1(x) = f(x + 3)$, przesuwając wykres $f$ o $3$ jednostki w lewo wzdłuż osi $x$.
Skonstruuj wykres funkcji $f_2(x) = -f_1(x) = -f(x + 3)$ odwracając wykres funkcji $f_1$ wokół osi $x$.
Na koniec skonstruuj wykres $g(x) = f_2(x) + 2 = -f(x + 3) + 2$, przesuwając $f_2$ o $2$ jednostki w górę wzdłuż osi $y$.
Ostateczny czerwony wykres pokazany na rysunku jest prawidłowym wykresem funkcji $g(x) = -f(x + 3) + 2$.
