En la figura se muestra la gráfica de la función $f(x) = x^{-2}$. A Martina se le encargó dibujar la gráfica de la función $$ g(x) = -f(x + 3) + 2 $$ en la misma figura.
Martina construyó la gráfica de of $g$ en los siguientes pasos:
(1) Con azul, dibuja la gráfica de la función: $$ f_1(x) = f(x) + 2 $$ Obtuvo esta gráfica trasladando la gráfica de $f$ hacia arriba $2$ unidades a lo largo del eje $y$.
(2) A continuación, con el color verde, dibujó la gráfica de la función: $$ f_2(x) = f_1(x + 3) = f(x + 3) + 2 $$ Obtuvo esta gráfica trasladando la gráfica azul de $f_1$ $3$ unidades a la izquierda a lo largo del eje $x$.
(3) Finalmente, utilizando el rojo, dibujó el gráfico solicitado de $$ g(x) = -f_2(x) = -f(x + 3) + 2. $$ Obtuvo esta gráfica invirtiendo la gráfica verde de $f_2$ alrededor del eje $x$.
¿Ha dibujado Martina el gráfico correctamente? Si no es así, identifica el paso incorrecto.
No. Ha cometido un error en el paso (1). No puede empezar trasladando el gráfico hacia arriba.
No. Ha cometido un error en el paso (1). Debería haber trasladado la gráfica de $f$ hacia abajo, no hacia arriba.
No. Cometió un error en el paso (2).
No. Cometió un error en el paso (3).
Sí. Dibujó el gráfico correctamente.
En lugar de construir la gráfica de la función $g(x) = -f(x + 3) + 2$, Martina construyó la gráfica de una función diferente: $$ f_4(x) = -f(x + 3) - 2 $$ En el paso (3), aplicó simetría alrededor del eje $x$, transformando la gráfica de $f_2(x) = f(x + 3) + 2$ en la gráfica de $$ f_4(x) = -f_2(x) = -[f(x + 3) + 2] = -f(x + 3) - 2. $$ Para obtener la gráfica correcta de $g$, habría tenido que dar un paso adicional y trasladar la gráfica de $f_4$ $4$ unidades hacia arriba.
Una forma más eficaz de construir la gráfica de $g$ es la siguiente:
Construir la gráfica de $f_1(x) = f(x + 3)$ trasladando la gráfica de $f$ $3$ unidades a la izquierda a lo largo del eje $x$.
Construir la gráfica de $f_2(x) = -f_1(x) = -f(x + 3)$ invirtiendo la gráfica de $f_1$ alrededor del eje $x$.
Finalmente, construir la gráfica de $g(x) = f_2(x) + 2 = -f(x + 3) + 2$ trasladando $f_2$ $2$ unidades hacia arriba a lo largo del eje $y$.
El gráfico rojo final que se muestra en la figura es el gráfico correcto de $g(x) = -f(x + 3) + 2$.
