$\sin ⁡x = \,?$

Alexander o tym wiedział: $$\mathrm{cotg} x=-\frac34\ \mbox{i}\ x\in\left(\frac32\pi,2\pi\right)$$ Próbował określić wartość $\sin x$ bez kalkulatora. Rozwiązanie Alexandra:.

(1) Po pierwsze, wyraził $\sin^2 x$ ze wzoru $\sin^2 x+\cos^2 x=1$, i uzyskał: $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$

(2) Po drugie, ponieważ $x\neq k\pi$, gdzie $k\in\mathbb{Z}$ ,Alexander podzielił wyrażenie przez $\sin^2 x$ i otrzymał $$1=\frac{1}{\sin^2 x}-\mathrm{cotg}^2 x$$

(3) W następnym kroku wyraził on $\sin^2 x$ z powyższego równania: $$\sin^2 x=\frac{1}{1+\mathrm{cotg}^2 x}$$

(4) Następnie podstawił podaną wartość $\mathrm{cotg} x=-\frac34$: $$\sin^2 x=\frac{1}{1+\frac{9}{16}}$$

(5) Alexander uprościł ułamek do jego najprostszej postaci: $$\sin^2 x=\frac{16}{25}$$

(6) Na koniec wziął pierwiastek kwadratowy z równości i uzyskał pożądaną wartość $\sin x$: $$\sin x=\frac45$$

Koledzy z klasy Alexandra skomentowali jego rozwiązanie:

a) Eva uważa, że błąd tkwił w kroku (3). Prawidłowe uproszczenie powinno brzmieć: $$\sin^2 x=1-\mathrm{cotg}^2 x$$

b) Marek powiedział, że krok (4) był nieprawidłowy. Prawidłowa wartość $\sin^2 x$ powinno być: $$\sin^2 x=\frac{1}{1-\frac{9}{16}}$$

c) Martyna była przekonana, że błąd tkwił w kroku (5). Prawidłowe uproszczenie powinno brzmieć: $$\sin^2 x=\frac85$$

d) Petra stwierdziła, że krok (6) jest nieprawidłowy. Jej zdaniem zadanie ma dwa rozwiązania i jest prawdziwe: $$\sin^2 x=\frac{16}{25}\Leftrightarrow|\sin x|=\frac45\Leftrightarrow\left(\sin x=\frac45 \lor \sin x=-\frac45\right)$$ Ustal, kto miał rację.