$\sin ⁡x = \,?$

Alexandr věděl, že: $$\mathrm{cotg} x=-\frac34\ \mbox{a zároveň}\ x\in\left(\frac32\pi,2\pi\right)$$ Snažil se bez kalkulačky určit $\sin ⁡x$.

Alexandrovo řešení:

(1) Nejprve vyjádřil $\sin^2 x$ ze vzorce $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ a získal: $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$

(2) Dále, jelikož $x\neq k\pi$, kde $k\in\mathbb{Z}$, Alexandr vydělil rovnici výrazem $\sin^2 x$ a dostal: $$1=\frac{1}{\sin^2 x}-\mathrm{cotg}^2 x$$

(3) V dalším kroku vyjádřil $\sin^2 x$ z výše uvedené rovnice: $$\sin^2 x=\frac{1}{1+\mathrm{cotg}^2 x}$$

(4) Následně dosadil danou hodnotu $\mathrm{cotg} x=-\frac34$: $$\sin^2 x=\frac{1}{1+\frac{9}{16}}$$

(5) Alexandr zjednodušil zlomek na základní tvar: $$\sin^2 x=\frac{16}{25}$$

(6) Nakonec odmocnil rovnici a získal požadovanou hodnotu $\sin x$: $$\sin x=\frac45$$

Alexandrovi spolužáci okomentovali jeho řešení:

a) Eva se domnívala, že chyba je v kroku (3). Správná úprava by měla být: $$\sin^2 x=1-\mathrm{cotg}^2 x$$

b) Marek řekl, že nesprávný je krok (4). Správná hodnota $\sin^2 x$ by měla být: $$\sin^2 x=\frac{1}{1-\frac{9}{16}}$$

c) Martina byla přesvědčena, že chyba je v kroku (5). Správná úprava by měla být: $$\sin^2 x=\frac85$$

d) Petra uvedla, že chybný je krok (6). Podle ní má zadaný příklad dvě řešení a platí: $$\sin^2 x=\frac{16}{25}\Leftrightarrow|\sin x|=\frac45\Leftrightarrow\left(\sin x=\frac45 \lor \sin x=-\frac45\right)$$ Určete, kdo měl pravdu.