Biorąc pod uwagę funkcję kwadratową $f(x) = x^2 - 2x$, znajdź liczbę rzeczywistą $k$, dla której zachodzi równanie $$ f(3) = k\cdot f\left(\frac13\right).$$
Charles rozwiązał zadanie w następujący sposób:
1) Najpierw obliczył wartość funkcji gdzie $x=3$: $$ f(3) = 3^2 − 2\cdot 3 = 9 − 6 = 3 $$
2) Podobnie, obliczył wartość funkcji przy $x=\frac13$: $$ f\left(\frac13\right) = \left(\frac13\right)^2− 2\cdot \frac13 = \frac19 − \frac23 = \frac19 − \frac49 = − \frac39 = − \frac13 $$
3)Następnie podstawił obliczone wartości do podanego równania: $$ f(3) = k\cdot f\left(\frac13\right) $$ i otrzymał: $$ 3 = k\cdot \left(− \frac13\right) $$
4) Rozwiązaniem tego równania jest: $$ k = −9 $$
Czy rozwiązanie Charlesa jest poprawne? Jeśli nie, wskaż błąd.
Nie. W kroku (1) wystąpił błąd. Wystąpił błąd numeryczny.
Nie. W kroku (2) wystąpił błąd. Wystąpił błąd numeryczny.
Nie. W kroku (3) wystąpił błąd. Powinno być: $$ 3 = k − \frac13 $$
Nie. W kroku (4) wystąpił błąd. Prawidłowym rozwiązaniem równania powinno być: $$ k = − \frac19 $$
Tak. Nie ma błędu.
W kroku (2) występuje błąd numeryczny. Prawidłowe obliczenia to: $$ f\left(\frac13\right) = \left(\frac13\right)^2− 2\cdot \frac13 = \frac19 − \frac23 = \frac19 − \frac69 = − \frac59 $$
Podstawiając do podanego równania, otrzymujemy: $$ \begin{gather} f(3) = k\cdot f\left(\frac13\right) \cr 3 = k\cdot \left(− \frac59\right) \cr k = − \frac{27}{5} \end{gather} $$