Biorąc pod uwagę parametryczne równania płaszczyzny:
$$\rho:\quad \left.\begin{aligned} x&=1-2r+s\cr y&=-2+4r-5s\cr z&=1+r+2s\end{aligned}\right\} \ r,s\in\mathbb{R} $$ oraz równania parametryczne linii: $$q:\quad \left.\begin{aligned} x&=3+t\cr y&=t\cr z&=1-3t \end{aligned}\right\} \ t\in\mathbb{R}, $$
Określ względne położenie płaszczyzny $\rho$ i linii $q$.
George rozwiązał problem w następujących krokach:.
(1)Wyznaczył współrzędne wektora kierunku linii $q$: $$\overrightarrow{u}=(1,1,-3)$$
(2) Następnie wyznaczył współrzędne wektorów kierunku $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ płaszczyzny $\rho$ i wykorzystał je do obliczenia współrzędnych jego wektora normalnego $\overrightarrow{n_{\rho}}$: \begin{aligned} \overrightarrow{v}&=(-2,4,1)\cr \overrightarrow{w}&=(1,-5,2) \end{aligned} \begin{aligned} \overrightarrow{n_{\rho}}=\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}&=(4\cdot2-(-5)\cdot 1,1\cdot1-2\cdot(-2),-2\cdot(-5)-1\cdot4)=\cr &=(8+5,1+4,10-4)=(13,5,6) \end{aligned}
(3) Sprawdził, czy wektory $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{n_{\rho}}$ są liniowo zależne, tj. czy wektor $\overrightarrow{n_{\rho}}$ jest $k$ wielokrotnością wektora $\overrightarrow{u}$, gdzie $k\in\mathbb{R}$: \begin{aligned} 13&=k\cdot1\Rightarrow k=\frac{1}{13}\cr 5&=k\cdot1\Rightarrow k=\frac15\cr 6&=k\cdot(-3)\Rightarrow k=-\frac12 \end{aligned} George argumentował, że nie ma $k$ takiego, że $\overrightarrow{n_{\rho}}=k\cdot\overrightarrow{u}$, i dlatego wektory $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{n_{\rho}}$ są liniowo niezależne (nie są liniowo zależne).
(4)Doszedł do wniosku, że skoro wektory $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{n_{\rho}}$ są liniowo niezależne, linia $q$ przecinają płaszczyznę $\rho$.
Czy rozwiązanie George'a jest poprawne? Jeśli nie, określ, gdzie George popełnił błąd.
Rozwiązanie George'a jest poprawne.
Błąd tkwi w kroku (1). George nieprawidłowo określił współrzędne wektora kierunku $\overrightarrow{u}$ linii $q$.
Błąd znajduje się w kroku (2). George nieprawidłowo obliczył współrzędne wektora normalnego $\overrightarrow{n_{\rho}}$ płaszczyzny $\rho$.
Błąd tkwi w kroku (3). Nie jest prawdą, że wektory $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{n_{\rho}}$ są liniowo niezależne. Jest oczywiste, że istnieje $k$ takich, że $\overrightarrow{n_{\rho}}= k\cdot\overrightarrow{u}$.
Błąd tkwi w kroku (4). Fakt, że wektor normalny płaszczyzny i wektor kierunku linii są liniowo niezależne, nie wystarcza do określenia względnego położenia linii i płaszczyzny.
Jeśli wektory $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{n_{\rho}}$są liniowo zależne, linia jest prostopadła do płaszczyzny, tj. linia przecina płaszczyznę (rysunek d)).
Jeśli wektory $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{n_{\rho}}$ są liniowo niezależne, istnieją trzy opcje: Prosta i płaszczyzna są równoległe (rysunek a)), prosta leży bezpośrednio na płaszczyźnie (rysunek b)) lub prosta przecina płaszczyznę (rysunek c)). O tym, która z tych opcji ma miejsce, można zdecydować za pomocą następującej procedury.
Aby użyć wektora kierunkowego $\overrightarrow{u}$ linii $q$ i wektora normalnego $\overrightarrow{n_{\rho}}$ płaszczyzny $\rho$ w celu określenia względnej pozycji $q$ i $\rho$ ,lepiej jest sprawdzić, czy wektory są prostopadłe.
Jeżeli $\overrightarrow{n_{\rho}}$ i $\overrightarrow{u}$ są prostopadłe, to prosta $q$ jest równoległa do płaszczyzny $\rho$ (rysunek a)) lub linia $q$ leży w płaszczyźnie $\rho$ (rysunek b)).
Jeżeli $\overrightarrow{n_{\rho}}$ i$\overrightarrow{u}$ nie są prostopadłe, to prosta $q$ przecina płaszczyznę $\rho$ (rysunek c) lub d)).
Wektory $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{n_{\rho}}$ są prostopadłe, jeśli $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\rho}}=0$.Sprawdzamy więc ten warunek: $$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\rho}}=1\cdot13+1\cdot5+(-3)\cdot6=13+5-18=0$$
Stwierdziliśmy, że wektory $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{n_{\rho}}$ są prostopadłe. Dlatego linia $q$ jest albo równoległa do płaszczyzny $\rho$ lub linia $q$ leży w płaszczyźnie $\rho$. Teraz ustalimy, która z tych alternatyw jest prawdziwa: Z równań parametrycznych linii $q$, określamy współrzędne jego punktu $A$: $$A=[3; 0; 1]$$ Sprawdzamy, czy $A$ również leży w płaszczyźnie $\rho$:
$$\underline{\begin{aligned} 3 &= 1 - 2r + s\cr 0 &= -2 + 4r - 5s\cr 1 &= 1 + r + 2s \end{aligned}} $$
Z trzeciego równania otrzymujemy $r = -2s$ i podstawić je do pierwszego i drugiego równania: \begin{aligned} 3 &= 1 - 2\cdot(-2s) + s \Rightarrow 2 = 5s \Rightarrow s = \frac25\cr 0 &= -2 + 4\cdot(-2s) - 5s \Rightarrow 2 = -13s \Rightarrow s = -\frac{2}{13} \end{aligned}
Uzyskaliśmy różne wartości dla $s$,więc ten układ równań nie ma rozwiązania. Dlatego punkt $A$ nie leży w płaszczyźnie $\rho$. Tak więc linia $q$ jest równoległa do płaszczyzny $\rho$, ale $q$ nie leży w płaszczyźnie $\rho$ (rysunek a)).
a)Linia $q$ jest równoległa do płaszczyzny $\rho$, ale $q$ nie leży w płaszczyźnie $\rho$.
b) Linia $q$ leży w płaszczyźnie $\rho$.
c) Linia $q$ przecina płaszczyznę $\rho$.
d) Linia $q$ przecina płaszczyznę $\rho$ -linia $q$ jest prostopadła do płaszczyzny $\rho$.
