George miał za zadanie rozwiązać równanie $$4\cdot\cos\left(\frac52x+\frac{\pi}{8}\right)=-\sqrt8$$ dla wartości rzeczywistych $x$. Podążajmy za jego rozwiązaniem: (1) Po podzieleniu tego równania przez $4$ i upraszczając prawą stronę, otrzymał równanie w postaci: $$\cos\left(\frac52x+\frac{\pi}{8}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}$$
(2) Korzystając z podstawienia $\left(\frac52x+\frac{\pi}{8}\right)=a$, przekształcił równanie w: $$\cosa=-\frac{\sqrt2}{2}$$
(3)George rozwiązał powyższe równanie trygonometryczne dla podstawionej zmiennej $a$ i znalazł rozwiązania: $$a_1=\frac34\pi+k\cdot2\pi,\quad a_2=\frac54\pi+k\cdot2\pi,$$ gdzie $k\in\mathbb{Z}$.
(4) Następnie podstawił te wartości $a$ z powrotem do podstawienia i otrzymał dwa równania liniowe dla $x$: $$\frac52x_1+\frac{\pi}{8}=\frac34\pi,\quad\frac52x_2+\frac{\pi}{8}=\frac54\pi$$
(5) Na koniec wyraził $x_1$ i $x_2$ z powyższych równań: $$x_1=\frac14\pi+k\cdot2\pi,\quad x_2=\frac{9}{20}\pi+k\cdot2\pi,$$ gdzie $k\in\mathbb{Z}$.
George popełnił jednak błąd w jednym ze swoich kroków. Zidentyfikuj ten krok.
Błąd występuje w kroku (1). Popełnił błąd podczas upraszczania prawej strony równania. Równanie powinno być uproszczone do: $$\cos\left(\frac52x+\frac{\pi}{8}\right)=-\frac{\sqrt2}{8}$$
Błąd występuje w kroku (2). Podstawienie powinno być następujące $\frac52x=a$. Prawidłowe równanie dla $a$ byłoby wówczas: $$\cos a=-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\pi}{8}$$
Błąd jest w kroku (3). Nie ma potrzeby wyrażania dwóch rozwiązań (za pomocą kropki). Poprawnym rozwiązaniem podstawionego równania jest: $$a=\frac34\pi+k\cdot2\pi,\quad\mbox{where}\ k\in\mathbb{Z}$$
Błąd występuje w kroku (4). Konieczne jest zastąpienie całych rozwiązań przez $a$,w tym wielokrotności okresu, z powrotem do podstawienia. Następnie najmniejszy okres dla $x$ powinien być $\frac45\pi$.
Błąd występuje w kroku (5). Niewiadoma zmienna $x$ została niepoprawnie wyrażona w obu równaniach. George powinien był otrzymać: $$x_1=\frac{25}{16}\pi+k\cdot\frac15\pi,\quad x_2=\frac{45}{16}\pi+k\cdot\frac15 \pi,\quad k\in\mathbb{Z}$$
W krokach (1)-(3) George postępował prawidłowo. Uzyskał: $$a_1=\frac34\pi+k\cdot2\pi,\quad a_2=\frac54\pi+k\cdot2\pi,$$ gdzie $k\in\mathbb{Z}$. Następnie musimy zastąpić te wartości (w tym kropkę) z powrotem w podstawieniu: $$\frac52x_1+\frac{\pi}{8}=\frac34\pi+k\cdot2\pi,\quad\frac52x_2+\frac{\pi}{8}=\frac54\pi+k\cdot2\pi$$ Następnie rozwiązujemy dla $x$z tych równań liniowych, a rozwiązaniami danego równania początkowego są: $$x_1=\frac14\pi+k\cdot\frac45\pi,\quad x_2=\frac{9}{20}\pi+k\cdot\frac45\pi,$$ gdzie $k\in\mathbb{Z}$.