Henry próbował zapisać zbiór $M=\left\{x\in\mathbb{R}∶|-4-2x|\leq3\right\}$ jako przedział. W którym kroku swojego rozwiązania Henry popełnił błąd?
Rozwiązanie Henry'ego:.
(1) Henry doszedł do wniosku, że przedział, którego szukał, był rozwiązaniem nierówności: $$|-4-2x|\leq3$$ (2) Najpierw zmodyfikował wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej: $$|4+2x|\leq3$$ (3) Następnie wyliczył liczbę $2$: $$2|x+2|\leq3$$ (4) Następnie podzielił nierówność przez $2$: $$|x+2|\leq1{,}5$$
(5)W końcu zdał sobie sprawę, że zbiór $M$ zawiera wszystkie liczby rzeczywiste, których odległość od liczby $2$ jest mniejsza lub równa $1{,}5$, tj, $$M=\langle2-1{,}5;2+1{,}5\rangle=\langle0{,}5;3{,}5\rangle$$
Błąd występuje w kroku (2). Prawidłowe uproszczenie powinno brzmieć: $$|-4-2x|=-|4+2x|$$
Błąd znajduje się w kroku (3). Nie jest możliwe usunięcie liczby z wyrażenia wewnątrz wartości bezwzględnej.
Błąd tkwi w kroku (4). Jeśli dzielimy nierówność przez liczbę $2$, musimy zmienić znak. Dlatego powinniśmy otrzymać: $$|x+2|\geq1{,}5$$
Błąd występuje w kroku (5). Zbiór $M$ zawiera wszystkie liczby rzeczywiste, których odległość od liczby $-2$ jest mniejsza lub równa $1{,}5$, tj, $$M=\langle-2-1{,}5;-2+1{,}5\rangle=\langle-3{,}5;-0{,}5\rangle$$