Uważnie przeanalizuj następujące kroki podejmowane podczas rozwiązywania równania wykładniczego: $$ 6^{1+x}+6^{1+x}=12 $$
1) Najpierw połącz wyrażenia po lewej stronie równania: $$ 2 \cdot 6^{1+x}=12 $$
2) Następnie dostosuj lewą i prawą stronę równania tak, aby obie strony miały moc o tej samej podstawie $12$: $$ 12^{1+x}=12^1 $$
3) Ponieważ podstawy po obu stronach są równe, wykładniki również muszą być równe: $$ 1+x=1 $$
4) Równość obowiązuje dla: $$ x=0 $$
Sprawdzanie nie jest konieczne. Niemniej jednak podstawienie z powrotem potwierdza poprawność rozwiązania.
Czy w którymś z tych kroków jest błąd? Jeśli tak, zidentyfikuj ten krok.
Tak. W kroku (1) wystąpił błąd. Równość $6^{1+x}+6^{1+x}=2\cdot 6^{1+x}$ nie obowiązuje w ogóle. Powinno być: $$6^{1+x}+6^{1+x}=6^{2+2x}$$
Tak. W kroku (2) wystąpił błąd. Regulacja lewej strony $2\cdot 6^{1+x}=12^{1+x}$ równania jest nieprawidłowa.
Tak. W kroku (3) wystąpił błąd. Równość $12^{1+x}=12^1$ implikuje $1+x=1$ lub $1+x=0$. Ponieważ przypadek $1+x=0$ nie został uwzględniony, nie wszystkie rozwiązania zostały znalezione.
Nie. To nie pomyłka. Cała procedura jest prawidłowa.
Prawidłowa procedura rozwiązywania równania wykładniczego: $$6^{1+x}+6^{1+x}=12$$
1) Zsumuj wyrazy po lewej stronie równania: $$ 2\cdot 6^{1+x}=12 $$
2) Podziel całe równanie przez $2$ i dostosuj obie strony równania, aby uzyskać potęgi o tej samej podstawie: $$ 6^{1+x}=6^1 $$
3) Since the bases are equal, the exponents must also be equal: $$ 1+x=1 $$
4) Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy: $$x=0$$
Uwaga: Ponieważ w procedurze rozwiązywania użyto tylko przekształceń równoważnych, sprawdzenie uzupełniające nie jest konieczne.