$ \log_2⁡(2 x)+\log_2⁡x=\log_2⁡3 $

Testom poddano troje uczniów: Lukasa, Magdę i Marie. Ich zadaniem było rozwiązanie na tablicy następującego równania logarytmicznego: $$ \log_2⁡(2 x)+\log_2⁡x=\log_2⁡3 $$ Początkowo wszyscy trzej uczniowie zidentyfikowali warunki istnienia logarytmów i określili dziedzinę równania: $$ \begin{gather} 2x>0 \wedge x>0 \cr x\in(0;\infty) \end{gather} $$ Potem postąpili inaczej.

Lukas:

Lukas zmodyfikował lewą stronę równania w następujący sposób: $$\log_2⁡(3 x)=\log_2⁡3$$ Następnie stwierdził, że równość logarytmów o tej samej podstawie implikuje równość wyrażeń w logarytmach. Otrzymał więc następujące równanie liniowe i rozwiązał je: $$ \begin{aligned} 3x & =3 \cr x & =1 \end{aligned} $$ Na koniec sprawdził, czy liczba $1$ należy do domeny i stwierdził, że $x=1$ jest rozwiązaniem.

Magda:

Magda zmodyfikowała również lewą stronę równania do: $$\log_2⁡(2 x^2)=\log_2⁡3$$ Uważała również, że równość logarytmów o tej samej podstawie implikuje równość wyrażeń w logarytmach. Dlatego otrzymała następujące równanie kwadratowe i rozwiązała je: $$ \begin{aligned} 2x^2 & =3 \cr x^2 & =\frac32 \cr x_1 & =-\sqrt{\frac32};x_2=\sqrt{\frac32} \end{aligned} $$ Następnie zauważyła, że liczba $-\sqrt{\frac32}$ nie należy do dziedziny równania. Dlatego Magda była przekonana, że rozwiązaniem równania jest tylko $x=\sqrt{\frac32}$.

Marie:

Marie zmodyfikowała również lewą stronę równania, używając reguł logarytmicznych do jego uproszczenia. Zapisała następującą procedurę na tablicy: $$ \begin{aligned} \log_2⁡2 x^2 & =\log_2⁡3 \cr 2 \log_2⁡2 x & =\log_2⁡3 \cr 2 (\log_2⁡2+\log_2⁡x) & =\log_2⁡3 \cr 2 \log_2⁡2+2\log_2⁡x & =\log_2⁡3 \cr 2+2\log_2⁡x & =\log_2⁡3 \cr 2\log_2⁡x & =8 – 2 \cr \log_2⁡x & =3 \cr x & =8 \end{aligned} $$ Na koniec sprawdziła, czy $8$ należy do dziedziny równania i stwierdziła, że $x=8$ jest rozwiązaniem.

Czy któreś z nich poprawnie rozwiązało równanie? Jeśli tak, to kto?