Zadaniem Johna było znalezienie punktów przegięcia wykresu funkcji: $$ f(x)=x^4-4x^3+6x^2-5x $$ Przedstawił on następujące rozwiązanie:
(1) Najpierw postanowił znaleźć drugą pochodną: $$ f''(x)=12x^2-24x+12 $$
(2) Następnie ustawił drugą pochodną równą zero i otrzymał równanie: $$ 12x^2-24x+12=0 $$
(3) Uprościł równanie do: $$ x^2-2x+1=0 $$ i przepisał lewą stronę jako $(x-1)^2$, uzyskał: $$ (x-1)^2=0 $$ Stwierdził, że jedynym rozwiązaniem tego równania jest $x=1$.
(4) Zastępując $x=1$ do formuły funkcji, John obliczył: $$ f(1)=1^4-4 \cdot 1^3+6 \cdot 1^2-5 \cdot 1=-2 $$ i stwierdził, że punkt $[1;-2]$ jest więc punktem przegięcia wykresu funkcji $f$.
Czy jego rozwiązanie jest poprawne? Jeśli nie, wskaż krok, w którym John popełnił błąd.
Tak. Sposób rozwiązania tego problemu jest prawidłowy.
Nie. Popełnił błąd w kroku (1). Druga pochodna jest nieprawidłowa.
Nie. Popełnił błąd w kroku (3). Równanie ma dwa rozwiązania $x=1$ and $x=-1$.
Nie. Błąd tkwi w kroku (4). Punkt [$1;-2]$ nie jest punktem przegięcia.
Nie. Całe rozwiązanie jest błędne. Pierwsza pochodna powinna być równa zero, aby uzyskać punkty przegięcia.
W punkcie przegięcia druga pochodna (jeśli istnieje) musi być równa $0$. Tym samym, w punkcie przegięcia, druga pochodna musi również zmienić znak, co odpowiada zmianie zachowania funkcji ze ściśle wypukłego na ściśle wklęsłe lub odwrotnie. W naszym problemie mamy $$ f''(x)=12x^2-24x+12=12 \cdot (x^2-2x+1)=12(x-1)^2, $$ które jest wyrażeniem, które nigdy nie jest ujemne. Oznacza to, że funkcja $f$ jest wypukła na $\mathbb{R}$, co jest również widoczne na wykresie (patrz rysunek). Dlatego punkt $[1;-2]$ nie jest punktem przegięcia.
