Podano punkty $A=[3; -1; -2]$, $B=[5; 2; -3]$, $C=[2; -4; 3]$, $K=[-2; 3; 4]$, i $L=[-3; 1; 6]$. Niech płaszczyzna $\alpha=\overleftrightarrow{ABC}$ i linia prosta $p = \overrightarrow{KL}$. Korzystając z wektora kierunku prostej i wektora normalnego płaszczyzny, określ, czy prosta $p$ przecina płaszczyznę $\alpha$. Rozwiąż zadanie bez obliczania ich przecięcia.
Elizabeth rozwiązała to zadanie w następujących krokach:.
(1) Po pierwsze, napisała:
- Jeśli wektor normalny płaszczyzny i wektor kierunku prostej są prostopadłe, to prosta jest równoległa do płaszczyzny lub prosta leży na płaszczyźnie.
- Jeśli wektor normalny płaszczyzny i wektor kierunku prostej nie są prostopadłe, to prosta przecina płaszczyznę.
(2) Określiła wektor kierunku prostej $p$: $$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{KL}= L - K = (-1; -2; 2)$$
(3) Następnie wyznaczyła wektory $\overrightarrow{AB}$ 1 $\overrightarrow{AC}$: $$\begin{aligned} \overrightarrow{AB}&= B - A = (2; 3; -1)\cr\cr \overrightarrow{AC}&= C - A = (-1; -3; 5) \end{aligned}$$ i wektor normalny płaszczyzny $\alpha$: $$\overrightarrow{n_{\alpha}}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$$
$$\begin{aligned} \overrightarrow{n_{\alpha}}&=(2\cdot(-3)-(-1)\cdot3; 3\cdot5-(-3)\cdot(-1);-1\cdot(-1)-5\cdot2)=\cr &=(-6+3;15-3;1-10) = (-3;12;-9)\end{aligned}$$
(4) Następnie obliczyła iloczyn skalarny $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\alpha}}$: $$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\alpha}}=-1\cdot(-3)+(-2)\cdot12 + 2\cdot(-9)=3-24-18 =-45$$
(5) Na koniec stwierdziła, że $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{n_{\alpha}}$ nie są prostopadłe $(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\alpha}}\neq0)$, dlatego prosta $p$ przecina płaszczyznę $\alpha$.
Czy rozwiązanie Elizabeth jest poprawne? Jeśli nie, określ, gdzie Elizabeth popełniła błąd.
Rozwiązanie Elizabeth jest prawidłowe.
Błąd jest w kroku (1). Stwierdzenia zapisane w tym kroku nie są prawdziwe.
Błąd występuje w kroku (3). Elizabeth nieprawidłowo określiła wektor $\overrightarrow{n_{\alpha}}$.
Błąd występuje w kroku (4). Elizabeth nieprawidłowo wyznaczyła iloczyn skalarny $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\alpha}}$.
Elizabeth nieprawidłowo określiła wektor$\overrightarrow{n_{\alpha}}$. Prawidłowa procedura jest następująca:
Po określeniu wektorów $\overrightarrow{AB}= (2; 3; -1)$ i $\overrightarrow{AC}= (-1; -3; 5)$, otrzymujemy wektor normalny płaszczyzny $\alpha$ jako iloczyn krzyżowy:
$$\overrightarrow{n_{\alpha}}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$$
$$\begin{aligned}
\overrightarrow{n_{\alpha}}&=(3\cdot5-(-3)\cdot(-1); -1\cdot(-1)-5\cdot2;2\cdot(-3)- (-1)\cdot3)=\cr
&=(15-3;1-10;-6+3) = (12;-9;-3)
\end{aligned}$$
Następnie iloczyn skalarny $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\alpha}}$ jest obliczana jako:
$$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\alpha}}= -1\cdot12 + (-2)\cdot(-9) + 2\cdot(-3) = 0$$
Oznacza to, że wektor normalny płaszczyzny i wektor kierunku linii są prostopadłe $(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\alpha}}=0)$. Dlatego prosta $p$ jest równoległa do płaszczyzny $\alpha$ lub prosta $p$ leży w płaszczyźnie $\alpha$.