Określ współrzędne środka okręgu $k$ który przechodzi przez punkty $A=[4; 5]$, $B=[2; 1]$, i $C=[-1; 0]$.
Tom rozwiązał ten problem, wykonując następujące czynności:.
(1) Podstawił współrzędne podanych punktów do ogólnego równania okręgu $k$: Ogólne równanie okręgu $k$ jest $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$, gdzie $a$, $b$, $c$ są stałymi, a $[x; y]$ jest dowolnym punktem na okręgu. \begin{aligned} A\in k: \ \qquad\quad 4^2 + 5^2 + a\cdot4 + b\cdot5 + c &= 0\cr B\in k: \ \qquad \quad 2^2 + 1^2 + a\cdot2 + b\cdot1 + c &= 0\cr C\in k:\, (-1)^2 + 0^2 + a\cdot(-1) + b\cdot0 + c &= 0 \end{aligned}
(2) Po uproszczeniu każdego z równań, napisał układ trzech równań z niewiadomymi $a$, $b$, i $c$, i znalazł rozwiązanie systemowe: \begin{aligned} 41 + 4a + 5b + c &= 0\cr 5 + 2a + b + c &= 0\cr 1 - a + c &= 0\cr\hline \end{aligned}
Na podstawie trzeciego równania Tom wyraził $a = 1 + c$ i podstawił je do dwóch pierwszych równań, które następnie uprościł. \begin{aligned} 41 + 4\cdot(1 + c) + 5b + c &= 0\cr 5 + 2\cdot(1 + c) + b + c &= 0\cr\hline \end{aligned} \begin{aligned} 45 + 5b + 5c &= 0\cr 7 + b + 3c &= 0\cr\hline \end{aligned} Teraz, na podstawie drugiego równania, Tom wyraził $b = -7 - 3c$ a następnie podstawił je do pierwszego równania, które następnie rozwiązał dla $c$. \begin{aligned} 45 + 5\cdot(-7 - 3c) + 5c &= 0\cr 10 - 10c &= 0\cr c &= 1 \end{aligned}
Na koniec Tom podstawił otrzymaną wartość $c$ do relacji dla $a$ i $b$. \begin{aligned} a &= 1+c = 1 + 1 = 2\cr b &= -7-3c =-7-3\cdot1 =-10\cr \end{aligned}
(3) Zapisał on ogólną postać równania okręgu $k$: $$x^2 + y^2 + 2x - 10y + 1 = 0$$ i przekształcił go w standardową formę: \begin{aligned} x^2 + 2x + y^2 - 10y + 1 &= 0 \cr \color{red}x^2 + 2x + 1\color{black} - 1 + \color{blue}y^2 - 10y + 25\color{black} - 25 + 1 &= 0\cr \color{red}(x + 1)^2\color{black} + \color{blue}(y - 5)^2\color{black} - 25 &= 0\quad / + 25\cr (x + 1)^2 + (y - 5)^2 &= 25\cr \end{aligned}
(4) Następnie użył standardowej postaci równania do określenia współrzędnych środka okręgu $k$: $$S = [1; -5]$$
Czy rozwiązanie Toma jest poprawne? Jeśli nie, określ, gdzie Tom popełnił błąd.
Rozwiązanie Toma jest prawidłowe.
Błąd znajduje się w kroku (2). Tom nieprawidłowo rozwiązał układ równań.
Błąd znajduje się w kroku (3). Tom niepoprawnie przekształcił ogólną postać równania okręgu $k$ do standardowej postaci.
Błąd znajduje się w kroku (4). Tom nieprawidłowo wyznaczył współrzędne środka okręgu $k$.
Tom popełnił błąd przy wyznaczaniu współrzędnych środka okręgu. Standardowe równanie okręgu o środku w punkcie $[m;n]$ i promieiu $r$ jest $$(x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2,$$ gdzie $[x, y]$ jest dowolnym punktem na okręgu. Dlatego współrzędne środka okręgu $k:\ (x + 1)^2 + (y - 5)^2 = 25$ są $[-1; 5]$.