Bob miał za zadanie znaleźć granicę funkcji $$ f(x) = \frac{\sqrt{\sin^2 x}}{x} $$ w punkcie $x=0$.
Na początku uprościł funkcję: $$ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sqrt{\sin^2 x}}{x} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} $$ Następnie zastosował regułę l'Hospitala i oszacował limit: $$ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\cos x}{1} = 1 $$ Czy Bob poprawnie obliczył limit? Wyjaśnij.
Nie. $\sqrt{\sin^2x }=|\sin x |$, i funkcja $\frac{|\sin x |}{x}$ nie ma limitu w punkcie $x=0$.
Nie. Nie jest możliwe zastosowanie reguły l'Hospitala do $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}$.
Tak. Limit jest obliczony prawidłowo.
Nie. Powinno być $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} =0$.
Funkcja $f(x) = \frac{\sqrt{\sin^2 x}}{x} =\frac{|\sinx |}{x}$ nie ma limitu w punkcie $x=0$ ponieważ granica od lewej strony jest równa $−1$ podczas gdy granica z prawej strony jest równa $+1$. Granice jednostronne funkcji $f$ można wyraźnie zobaczyć na wykresie pokazanym na poniższym rysunku.
