Petr był egzaminowany przed kolegami z klasy i miał rozwiązać równanie logarytmiczne: $$ \log_2(x-2)+\log_2( x)=3 $$
Jego koledzy z klasy mieli następnie ocenić poprawność jego procedury rozwiązywania.
(1) Najpierw Petr wyznaczył dziedziny obu logarytmów: $$ x-2>0 \land x>0 $$ Rozwiązując te warunki, uzyskał dziedzinę danego równania: $$ (2,+\infty) $$
(2) Zmodyfikował lewą stronę równania zgodnie z prawami logarytmów: $$ \begin{align} \log_2( x-2+x)&=3 \cr \log_2( 2x-2)&=3 \end{align} $$
(3) Następnie użył tej zasady: $$ \log_ax=v \Leftrightarrow x=a^v $$ i uzyskał: $$ 2x-2=2^3 $$
(4) W końcu rozwiązał równanie liniowe: $$ \begin{align} 2x-2&=2^3 \cr 2x-2&=8 \cr 2x&=10 \cr x&=5 \end{align} $$
Petr zauważył, że rdzeń $x=5$ należy do dziedziny równania.
(5) Jednak po przeprowadzeniu kontroli: $$ \begin{align} L(5)&=\log_2(5-2)+\log_2( 5)=\log_23+\log_25\approx 3{,}907 \cr P(5) & =3 \cr L(5) & \neq P(5) \end{align} $$ stwierdził, że równanie nie ma rozwiązania. Czy Peter popełnił błąd? Jeśli tak, wskaż gdzie.
Tak. Błąd tkwi w kroku (2). Ogólnie rzecz biorąc, równość $$ \log_2 (x-2)+\log_2 x=\log_2 (2x-2) $$ nie ma zastosowania.
Tak. Błąd jest w kroku (1). Warunki dla dziedziny danego równania powinny być następujące: $$ x-2 \geq 0 \land x\geq0 $$ Zatem dziedziną równania jest przedział $\langle 2,+\infty)$. Wszystkie kolejne kroki Petera i wynik są już poprawne.
Tak. Błąd występuje w kroku (5). Sprawdzanie jest nieprawidłowe. Powinno być $$\log_23+\log_25=\log_28=3,$$ a zatem $x=5$ jest poprawnym rozwiązaniem danego równania.
Nie. Wszystkie kroki są prawidłowe.
Prawidłowe rozwiązanie: $$\log_2(x-2)+\log_2( x)=3 $$ (1) Wyznaczamy dziedziny obu logarytmów: $$ x-2>0 \land x>0 $$ $$ x∈(2;\infty) $$
(2) Modyfikujemy lewą stronę równania zgodnie z regułą: $$ \log_a x+\log_a y=\log_a (xy) $$ i otrzymujemy: $$ \begin{align} \log_2[(x-2)\cdot x]=3 \cr \log_2( x^2-2x)=3 \end{align} $$
(3) Następnie upraszczamy równanie zgodnie z regułą: $$ \log_ax=v\Leftrightarrow x=a^v $$ i otrzymujemy: $$ x^2-2x=2^3 $$
(4) I rozwiązujemy równanie kwadratowe: $$ \begin{align} x^2-2x-8&=0 \cr x_{1,2}&=\frac{2\pm \sqrt{36}}{2} \cr x_1&=4 \cr x_2&=-2 \end{align} $$
(5) Rdzeń $x=-2$ nie należy do dziedziny, więc równanie ma tylko jedno rozwiązanie $x = 4$. Możemy, ale nie musimy, przeprowadzić kontrolę. $$ \begin{align} L(4)&=\log_2(4-2)+\log_2( 4)=\log_22+\log_24=3 \cr P(4)&=3 \cr L(4)&=P(4) \end{align} $$