Zadanie tekstowe

Zobacz, jak niektórzy uczniowie rozwiązali poniższe zadanie:

Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości $8910\,\mathrm{PLN}$ w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była o $30\,\mathrm{PLN}$ niższa od poprzedniej. Oblicz wysokość pierwszej raty.

Rozwiązanie Joanny:

(1) Na początku Joanna zdała sobie sprawę, że raty tworzą ciąg arytmetyczny $(a_n )$. Różnica tego ciągu $d=-30$ i sumy pierwszych osiemnastu wyrazów wynosi $8910$. Pierwsza rata jest reprezentowana przez pierwszy wyraz $a_1$ ciągu.

(2) Napisała wzór na sumę pierwszych osiemnastu wyrazów ciągu arytmetycznego: $$ S_{18}=\frac{n}{2} (a_1+a_{18} ) $$ (3) Wyraziła osiemnasty wyraz jako $$ a_{18}=a_1+18d $$ podstawiła go do wzoru na sumę i otrzymała równanie: $$ 8910=9(2a_1+18(-30)) $$ (4) Następnie rozwiązała powyższe równanie: $$ \begin{gather} 990=2a_1-540 \cr a_1=765 \end{gather} $$ Jak dla niej, pierwsza rata wyniosła 765PLN.

Rozwiązanie Pauli:.

Paula pomyślała, że gdyby raty były takie same, to każda rata wynosiłaby: $$ 8910 : 18=495 $$ Ponieważ każda kolejna rata była o $30$ niższa od poprzedniej, pierwsza rata powinna wynosić: $$ 495+9\cdot 30=765 $$ Doszła do wniosku, że pierwsza rata wynosiła $765\,\mathrm{PLN}$.

Rozwiązanie Marka:

(1) Marek zauważył, że będzie miał do czynienia z ciągiem arytmetycznym, w którym różnica wynosi $-30$, a suma pierwszych osiemnastu wyrazów wynosi $8910$. Musiał wyznaczyć pierwszy wyraz tego ciągu.

(2) Użył wzoru na sumę pierwszych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego $$ S_n=\frac{n}{2} (2a_1+(n-1)d) $$, gdzie $a_1$ to pierwszy wyraz ciągu, a $d$ to różnica.

(3) Ponieważ liczba wyrazów $n=18$, ułożył równanie: $$ 8910=\frac{18}{2} (2a_1+17(-30)) $$ (4) Na koniec rozwiązał otrzymane równanie: $$ \begin{gather} 990=2a_1-510 \cr a_1=750 \end{gather} $$ Jak dla niego, pierwsza rata wyniosła $750\,\mathrm{PLN}$.

Rozwiązanie Erika:

Erik podzielił pożyczkę na osiemnaście równych kwot: $$ 8910 : 18=495 $$ Jego zdaniem, skoro liczba rat wynosiła $18 $ i jeśli dziewiąta rata wynosiła $495 $, to pierwsza rata powinna wynosić: $$ 495+8 \cdot 30=735 $$ Erik doszedł do wniosku, że pierwsza rata wynosiła $735 \,\mathrm{PLN}$.

Oto kilka komentarzy. Wybierz prawidłowy.