Několik studentů řešilo následující úlohu:
Pan Standa splatil půjčku ve výši $8910\,\mathrm{PLN}$ v osmnácti splátkách, přičemž každá následující splátka byla o $30\,\mathrm{PLN}$ nižší než předcházející. Vypočítejte výšku první splátky.
Jolanino řešení:
(1) Jolana si nejdříve uvědomila, že jednotlivé splátky tvoří aritmetickou posloupnost $(a_n )$ s diferencí $d=-30$ a součtem prvních osmnácti členů rovným $8910$. První splátka půjčky je reprezentována prvním členem $a_1$ této posloupnosti.
(2) Napsala vzorec pro součet prvních osmnácti členů aritmetické posloupnosti: $$ S_{18}=\frac{18}{2} (a_1+a_{18} ). $$ (3) Vyjádřila osmnáctý člen posloupnosti $$ a_{18}=a_1+18d $$ a dosadila jej do vzorce pro součet. Získala tedy rovnici: $$ 8910=9(2a_1+18(-30)). $$ (4) Poté tuto rovnici vyřešila: $$ \begin{gather} 990=2a_1-540 \cr a_1=765. \end{gather} $$ Podle ní byla výše první splátky $765\,\mathrm{PLN}$.
Pavlínino řešení:
Pavlína si myslela, že pokud by byly všechny splátky ve stejné výši, pak by každá splátka byla rovna: $$ 8910 : 18=495. $$ Jestliže byla každá další splátka o $30$ nižší jako předcházející, první splátka by měla mít hodnotu: $$ 495+9\cdot 30=765. $$ Dospěla k závěru, že první splátka byla $765\,\mathrm{PLN}$.
Markovo řešení:
(1) Marek si uvědomil, že pracuje s aritmetickou posloupností s diferencí $-30$ a součet prvních osmnácti členů je roven $8910$. Potřeboval určit první člen této posloupnosti.
(2) Použil vzorec pro součet prvních $n$ členů aritmetické posloupnosti $$ S_n=\frac{n}{2} (2a_1+(n-1)d), $$ kde $a_1$ označuje první člen posloupnosti a $d$ její diferenci.
(3) Pro počet členů $n=18$ sestavil rovnici: $$ 8910=\frac{18}{2} (2a_1+17(-30)). $$ (4) A tuto rovnici vyřešil: $$ \begin{gather} 990=2a_1-510 \cr a_1=750. \end{gather} $$ Podle něj byla první splátka $750\,\mathrm{PLN}$.
Erikovo řešení:
Erik rozdělil půjčku na osmnáct stejných splátek: $$ 8910 : 18=495. $$ Podle něj, pokud byl počet splátek $18$ a devátá splátka byla rovna $495$, pak by první splátka měla být rovna: $$ 495+8 \cdot 30=735. $$ Erik dospěl k závěru, že první splátka byla $735\,\mathrm{PLN}$.
Zde jsou některé komentáře. Vyberte ten správný.
Markovo řešení je správné.
Jolanino a Pavlínino řešení jsou správné.
Správně není žádné z uvedených řešení.
Erikovo řešení je správné.