Problema

Observa cómo resolvieron algunos estudiantes la siguiente tarea:

Mr. Stanisław devolvió un préstamo de $8910\,\mathrm{PLN}$ en dieciocho plazos. El pago de cada uno de ellos era $30\,\mathrm{PLN}$ menos que el anterior. Calcula el importe del pago del primer plazo.

Solución de Joanna:

(1) Primero, Joanna se dio cuenta de que los pagos de los plazos forman una progresión aritmética $(a_n )$. La diferencia común de esta progresión es $d=-30$ y la suma de los dieciocho primeros términos es $8910$. El pago del primer plazo está representado por el primer término de la progresión $a_1$.

(2) Escribió la fórmula para la suma de los dieciocho primeros términos de una progresión aritmética: $$ S_{18}=\frac{n}{2} (a_1+a_{18} ) $$ (3) Expresó el décimo octavo término como $$ a_{18}=a_1+18d $$ y lo sustituyó en la fórmula de la suma obteniendo la ecuación: $$ 8910=9(2a_1+18(-30)) $$ (4) Luego resolvió la ecuación: $$ \begin{gather} 990=2a_1-540 \cr a_1=765 \end{gather} $$ Según ella, el pago del primer plazo era $765\,\mathrm{PLN}$.

Solución de Paula:

Paula pensó que, si los pagos de todos los plazos fueran iguales, cada uno sería: $$ 8910 : 18=495 $$ Como cada pago siguiente eran $30$ menos que el anterior, el pago del primer plazo debería ser: $$ 495+9\cdot 30=765 $$ Llegó a la conclusión de que el pago del primer pago era $765\,\mathrm{PLN}$.

Solución de Marek:

(1) Marek observó que se trata de una progresión aritmética, donde la diferencia común es $-30$ y la suma de los dieciocho primeros términos es $8910$. Necesitaba determinar el primer término de la progresión.

(2) Utilizó la fórmula para la suma de los $n$ primeros términos de una progresión aritmética $$ S_n=\frac{n}{2} (2a_1+(n-1)d) $$ donde $a_1$ es el primer término de la progresión y $d$ es la diferencia común.

(3) Para el número de términos $n=18$, planteó la ecuación: $$ 8910=\frac{18}{2} (2a_1+17(-30)) $$ (4) Finalmente, resolvió la ecuación resultante: $$ \begin{gather} 990=2a_1-510 \cr a_1=750 \end{gather} $$ Según él, el pago dle primer plazo era $750\,\mathrm{PLN}$.

Solución de Erik:

Erik dividió el préstamo en dieciocho cantidades iguales: $$ 8910 : 18=495 $$ En su opinión, como el número de plazos era $18$ y si el plazo del noveno plazo era $495$, entonces el pago del primer plazo debería ser: $$ 495+8 \cdot 30=735 $$ Erik concluyó que el pago del primer plazo era $735\,\mathrm{PLN}$.

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