Iloraz

Paweł, Mike i Kate rozwiązali następujące zadanie:

Wyznacz iloraz nieskończonego zbieżnego ciągu geometrycznego, którego pierwszy wyraz jest równy $6$, a suma wszystkich jego wyrazów stanowi jedną ósmą sumy kwadratów wszystkich tych wyrazów.

Wszyscy trzej znali wzór na sumę nieskończonego zbieżnego szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie $a_1$ i ilorazie $q$: $$ S=\frac{a_1}{1-q} $$

Paweł rozumował następująco: Dla sumy kwadratów wszystkich wyrazów danego ciągu musi zachodzić: $$ S_{\square}=\frac{36}{1-q^2 } $$ Zgodnie z treścią zadania powinno obowiązywać $S=\frac18 S_{\square}$. W ten sposób otrzymał równanie: $$ \frac{6}{1-q}=\frac18 \cdot \frac{36}{1-q^2 } $$ Następnie Paweł opuścił ułamki z powyższego równania, przekształcił powstałe równanie w standardową postać równania kwadratowego i rozwiązał je:

$$ \begin{gather} 48-48q^2=36-36q \cr 4q^2-3q-1=0 \cr q_{1,2}=\frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot 4 \cdot (-1) }}{2\cdot 4} \cr q_1=1,~q_2=-\frac14 \end{gather} $$ Mike pomyślał następująco: Jeśli $S=\frac{6}{1-q}$, to dla sumy kwadratów wszystkich wyrazów danego ciągu powinno to wyglądać: $$ S_{\square}=\left(\frac{6}{1-q}\right)^2 $$ Dalej kontynuował. Jeśli $S=\frac18 S_{\square}$, to otrzymał równanie: $$ \frac{6}{1-q}=\frac18 \cdot \left(\frac{6}{1-q}\right)^2 $$ Z powyższego równania wyeliminował ułamki mnożąc obie strony przez $8(1-q)^2$ i otrzymał:

$$ \begin{gather} 48(1-q)=36 \cr q=\frac14 \end{gather} $$

Kate była przekonana, że ​​oba ciągi różnią się ilorazem, zatem suma kwadratów wszystkich wyrazów danego ciągu powinna wynosić: $$ S_{\square}=\frac{6}{1-q^2 } $$ Następnie kontynuowała w następujący sposób: $$ \frac{6}{1-q}=\frac18 \cdot \frac{6}{1-q^2 } $$ Pomnożyła obie strony równania przez $8(1-q^2)$ i otrzymała: $$ \begin{gather} 48(1+q)=6 \cr q=-\frac78 \end{gather} $$ Czy któryś z nich uzyskał prawidłowy wynik?