Sophia i Olivia miały rozwiązać to zadanie:
W trójkącie prostokątnym $ABC$ z kątem prostym w wierzchołku $C$ oznaczmy kąt w wierzchołku $A$ jako $\alpha$ (czyli $\measuredangle BAC=\alpha$). Dla kąta $\alpha$ obowiązuje
$$\sin \alpha =\cos \alpha.$$
Długość przeciwprostokątnej wynosi $2$. Określ pole koła wpisanego w ten trójkąt.
Sophia przedstawiła swoje rozwiązanie.
(1) Naszkicowała rysunek trójkąta prostokątnego z wpisanym w niego okręgiem:
(2) Zauważyła, że pole $P$ trójkąta $\Delta ABC$ można wyrazić za pomocą długości jego boków i długości $\rho$ promienia okręgu wpisanego: $$ P=\frac12 a\rho +\frac12 b\rho +\frac12 c\rho =\frac12 \rho (a+b+c) $$
(3) Stamtąd wyraziła promień $\rho$ : $$ \rho =\frac{2P}{a+b+c} $$ (4) Następnie kontynuowała w ten sposób: $$ \begin{gather} \sin \alpha =\cos \alpha \Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{c} \Rightarrow a=b \cr a^2+a^2=2^2 \cr a=\sqrt{2} \end{gather} $$ (5) Na koniec obliczyła pole powierzchni $P$ i promień $\rho$: $$ \begin{gather} P=\frac{ab}{2}=1 \cr \rho =\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{2}+2} =\frac{1}{\sqrt{2}+1} \end{gather} $$ (6) Teraz mogła wyznaczyć pole $A$ okręgu wpisanego: $$ A =\pi\rho^2=\frac{\pi}{3+2\sqrt{2}} $$
Oto rozwiązanie Olivii:
(1) Wykorzystała fakt, że $\sin \alpha = \cos \alpha$, co implikuje, że $\alpha =\frac{\pi}{4}$ i że $\Delta ABC$ jest trójkątem równoramiennym prostokątnym.
(2) Naszkicowała trójkąt równoramienny prostokątny z wpisanym okręgiem.
(3) Wiedziała, że dwusieczna kąta wierzchołkowego trójkąta prostokątnego równoramiennego jest symetralną przeciwprostokątnej, więc: $$ \tan \frac{ \alpha}{2}=\frac{\rho}{1} $$
(4) Zapamiętała wzór na tangens połowy kąta $$ \tan \frac{ \alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}} $$ i wyraził promień $\rho$ w postaci: $$ \rho =\sqrt{\frac{1-\frac1{\sqrt{2}}}{1+\frac1{\sqrt{2}}}}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}} $$
(5) Na koniec obliczyła pole powierzchni $A$ okręgu wpisanego: $$ A =\pi\rho^2=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} \pi $$
Nauczyciel poprosił kolegów z klasy o komentarze. Określ, który komentarz jest poprawny.
Karel jest przekonany, że obaj rozwiązali zadanie poprawnie.
Libor uważa, że oba rozwiązania nie są prawidłowe. Obaj popełnili błąd przy obliczaniu promienia $\rho$.
Mark jest przekonany, że Olivia popełniła błąd w kroku (4). Powinno być: $$ \tan \frac{ \alpha}{2}= \frac{\sin \frac{ \alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} =1,~\rho =1 $$.
Kate uważa, że Olivia popełniła błąd w kroku (3). Uprościła przykład, uznając, że dwusieczna kąta wierzchołkowego trójkąta prostokątnego równoramiennego dzieli przeciwprostokątną na równe części, co w ogólnym przypadku może nie mieć miejsca.
$$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\cdot \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}= \frac{1}{3+2\sqrt{2}}$$
