Trójkąt prostokątny $ABC$ jest wpisany w okrąg o promieniu $6$, a miara jego kąta $BAC$ wynosi $60^{\circ}$. Oblicz pole tego trójkąta.
Piotr rozwiązał to zadanie w następujący sposób:
(1) Najpierw narysował poniższy rysunek:
Z rysunku bezpośrednio wynika, że $$ |AB|=12. $$
(2) Korzystając z funkcji sinus, znalazł długość przeciwległego boku $BC$: $$ \begin{gather} \sin(60^{\circ})= \frac{|AB|}{|BC|} \cr |BC|=\frac{|AB|}{ \sin(60^{\circ}) }\cr |BC|=8\sqrt{3} \end{gather} $$
(3) Używając funkcji cosinus, znalazł długość sąsiedniego boku $AC$: $$ \begin{gather} \cos(60^{\circ})= \frac{|AC|}{|AB| } \cr |AC|=|AB| \cos(60^{\circ}) \cr |AC|=6 \end{gather} $$
(4) Na koniec obliczył pole trójkąta: $$ P=\frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 8 \sqrt{3}=24 \sqrt{3} $$ Czy wynik Piotra jest poprawny? Która odpowiedź jest prawdziwa?
Wynik Petra nie jest poprawny. Petr uprościł przykład, rysując bok $AB$ tak, aby przechodził przez środek okręgu opisanego, co w ogólnym przypadku może nie być prawdą. Błąd tkwi w kroku (1).
Wynik Petera nie jest poprawny. Popełnił błąd w kroku (2). Powinno być: $$ \sin(60^{\circ})= \frac{|BC|}{|AB|} $$
Wynik Petera nie jest poprawny. Popełnił on błąd w kroku (3). Powinno być: $$ \cos(60^{\circ})=\frac{|AB|}{|AC| } $$.
Wynik Petera nie jest poprawny. Popełnił błąd w kroku (4). Powinien był użyć wzoru: $$ A=\frac12 |AB||AC| \cos(60^{\circ}) $$
$$ \begin{gather} \sin (60^{\circ})= \frac{|BC|}{|AB| } \cr |BC|=6\sqrt{3} \end{gather} $$ Poprawny wynik to: $$ A=\frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 6 \sqrt{3}=18 \sqrt{3} $$
