Bokami trójkąta $ABC$ są: $|AB|=5$, $|BC|=5\sqrt{7}$ oraz $|AC|=15$. Miara $\measuredangle BAC$ wynosi $60^{\circ}$. Dwie dziewczynki, Judyta i Małgorzata, obliczyły miarę $\measuredangle ABC$, ale otrzymały różne wyniki.
Judyta skorzystała z prawa cosinusów: $$ \begin{gather} |AC|^2=|AB|^2+|BC|^2-2|AB||BC|\cos (\measuredangle ABC) \cr 15^2=5^2+(5\sqrt{7})^2-2\cdot 5\cdot 5\sqrt{7}\cdot \cos (\measuredangle ABC) \cr 225=25+175-50\sqrt{7}\cdot\cos (\measuredangle ABC) \cr \cos (\measuredangle ABC)=-\frac{25}{50\sqrt{7}} \cr \measuredangle ABC\approx 101^{\circ} \end{gather} $$
Margaret wykorzystała prawo sinusów: $$ \begin{gather} \frac{|BC|}{\sin(\measuredangle BAC)}=\frac{|AC|}{\sin(\measuredangle ABC) }\cr \frac{5\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{15}{\sin(\measuredangle ABC)}\cr \sin(\measuredangle ABC)=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} \cr \measuredangle ABC\approx 79^{\circ} \end{gather} $$ Oto kilka komentarzy. Który z nich jest poprawny?
Judith zademonstrowała prawidłowe rozwiązanie, $\measuredangle ABC\approx 101^{\circ}$. Jeśli podane są długości trzech boków trójkąta, do rozwiązania trójkąta można użyć prawa cosinusów.
Oba wyniki są poprawne. Mogą istnieć dwie możliwe miary dla $\measuredangle ABC$: $\measuredangle ABC\approx 101^{\circ}$ lub $\measuredangle ABC\approx 79^{\circ}$.
Margaret pokazała prawidłowe rozwiązanie, $\measuredangle ABC\approx 79^{\circ}$. Kąt rozwarty o mierze $101^{\circ}$ nie może być rozwiązaniem prawidłowym. Ponieważ sinus kąta rozwartego jest ujemny, pole trójkąta byłoby ujemne, co nie jest możliwe. Zobacz wzór na pole trójkąta $\Delta ABC$: $$ A=|AB||BC|\sin(\measuredangle ABC) $$
Przykład ten można rozwiązać, korzystając zarówno z prawa sinusów, jak i prawa cosinusów. Niestety, obie dziewczyny popełniły błąd i ich wyniki są błędne.
Jeśli użyjemy prawa sinusów, otrzymamy dwie miary dla $\measuredangle ABC$: $\sin(\measuredangle ABC)=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$, stąd $\measuredangle ABC\approx 79^{\circ}$ lub $\measuredangle ABC=180^{\circ}-79^{\circ}\approx 101^{\circ}$ ($\sin \alpha=\sin(180^{\circ}-\alpha$)). Obliczenie miary $\measuredangle ACB$ wyeliminuje jeden z tych wyników: $$ \begin{gather} \frac{|BC|}{\sin(\measuredangle BAC)}=\frac{|AB|}{\sin(\measuredangle ACB )}\cr \sin(\measuredangle ACB )=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} \cr \measuredangle ACB\approx 19^{\circ} \lor \measuredangle ACB\approx 161^{\circ} \end{gather} $$ Ponieważ $\measuredangle BAC=60^{\circ}$ i $\measuredangle ACB+\measuredangle ABC+\measuredangle BAC=180^{\circ}$, miara $\measuredangle ABC$ musi wynosić około $101^{\circ}$.